Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30358 / 20653
↖ ↑ ↗
← N 55.238420°
W 13.238526°		 ← 348.28 m → N 55.238420°
W 13.233032°		 →
↑
348.30 m
↓
↑
348.30 m
↓
N 55.235288°
W 13.238526°		 ← 348.31 m →
121 313 m²		 N 55.235288°
W 13.233032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463233947753906 y=0.315147399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463233947753906 × 216)
    floor (0.463233947753906 × 65536)
    floor (30358.5)     		tx = 30358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315147399902344 × 216)
    floor (0.315147399902344 × 65536)
    floor (20653.5)     		ty = 20653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30358 / 20653 ti = "16/30358/20653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30358/20653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30358 ÷ 216
    30358 ÷ 65536     		x = 0.463226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20653 ÷ 216
    20653 ÷ 65536     		y = 0.315139770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.07354736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23105586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315139770507812 × 2 - 1) × π
    0.369720458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16151107779396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23105586} λ = -0.23105586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16151107779396))-π/2
    2×atan(3.19475715716582)-π/2
    2×1.26744431609386-π/2
    2.53488863218772-1.57079632675     		φ = 0.96409231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23105586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96409231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.238420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30358 KachelY 20653 -0.23105586 0.96409231 -13.238526 55.238420
    Oben rechts KachelX + 1 30359 KachelY 20653 -0.23095998 0.96409231 -13.233032 55.238420
    Unten links KachelX 30358 KachelY + 1 20654 -0.23105586 0.96403764 -13.238526 55.235288
    Unten rechts KachelX + 1 30359 KachelY + 1 20654 -0.23095998 0.96403764 -13.233032 55.235288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96409231-0.96403764) × R
    5.46699999999234e-05 × 6371000     		dl = 348.302569999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96409231-0.96403764) × R
    5.46699999999234e-05 × 6371000     		dr = 348.302569999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23105586--0.23095998) × cos(0.96409231) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570162807219416 × 6371000     		do = 348.284794630908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23105586--0.23095998) × cos(0.96403764) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570207719506682 × 6371000     		du = 348.312229368055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96409231)-sin(0.96403764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570162807219416-0.570207719506682)×R²
    abs(-0.23095998--0.23105586)×4.49122872656638e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49122872656638e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49122872656638e-05×40589641000000     		ar = 121313.266886671m²