Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30358 / 13195
↖ ↑ ↗
← N 72.589049°
W 13.238526°		 ← 182.78 m → N 72.589049°
W 13.233032°		 →
↑
182.78 m
↓
↑
182.78 m
↓
N 72.587405°
W 13.238526°		 ← 182.80 m →
33 411 m²		 N 72.587405°
W 13.233032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463233947753906 y=0.201347351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463233947753906 × 216)
    floor (0.463233947753906 × 65536)
    floor (30358.5)     		tx = 30358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201347351074219 × 216)
    floor (0.201347351074219 × 65536)
    floor (13195.5)     		ty = 13195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30358 / 13195 ti = "16/30358/13195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30358/13195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30358 ÷ 216
    30358 ÷ 65536     		x = 0.463226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13195 ÷ 216
    13195 ÷ 65536     		y = 0.201339721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.07354736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23105586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201339721679688 × 2 - 1) × π
    0.597320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.87653787252672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23105586} λ = -0.23105586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87653787252672))-π/2
    2×atan(6.5308550238992)-π/2
    2×1.41885711629864-π/2
    2.83771423259727-1.57079632675     		φ = 1.26691791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23105586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26691791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.589049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30358 KachelY 13195 -0.23105586 1.26691791 -13.238526 72.589049
    Oben rechts KachelX + 1 30359 KachelY 13195 -0.23095998 1.26691791 -13.233032 72.589049
    Unten links KachelX 30358 KachelY + 1 13196 -0.23105586 1.26688922 -13.238526 72.587405
    Unten rechts KachelX + 1 30359 KachelY + 1 13196 -0.23095998 1.26688922 -13.233032 72.587405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26691791-1.26688922) × R
    2.86900000001644e-05 × 6371000     		dl = 182.783990001047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26691791-1.26688922) × R
    2.86900000001644e-05 × 6371000     		dr = 182.783990001047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23105586--0.23095998) × cos(1.26691791) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.299223167834606 × 6371000     		do = 182.780914922043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23105586--0.23095998) × cos(1.26688922) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.29925054322621 × 6371000     		du = 182.79763722052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26691791)-sin(1.26688922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299223167834606-0.29925054322621)×R²
    abs(-0.23095998--0.23105586)×2.73753916039121e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.73753916039121e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.73753916039121e-05×40589641000000     		ar = 33410.9532120469m²