Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30357 / 16928
↖ ↑ ↗
← N 65.293468°
W 13.244019°		 ← 255.29 m → N 65.293468°
W 13.238526°		 →
↑
255.29 m
↓
↑
255.29 m
↓
N 65.291172°
W 13.244019°		 ← 255.31 m →
65 175 m²		 N 65.291172°
W 13.238526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463218688964844 y=0.258308410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463218688964844 × 216)
    floor (0.463218688964844 × 65536)
    floor (30357.5)     		tx = 30357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258308410644531 × 216)
    floor (0.258308410644531 × 65536)
    floor (16928.5)     		ty = 16928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30357 / 16928 ti = "16/30357/16928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30357/16928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30357 ÷ 216
    30357 ÷ 65536     		x = 0.463211059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16928 ÷ 216
    16928 ÷ 65536     		y = 0.25830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463211059570312 × 2 - 1) × π
    -0.073577880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23115173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25830078125 × 2 - 1) × π
    0.4833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51864097996338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23115173} λ = -0.23115173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51864097996338))-π/2
    2×atan(4.56601566988036)-π/2
    2×1.35519115997521-π/2
    2.71038231995043-1.57079632675     		φ = 1.13958599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23115173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.244019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13958599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.293468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30357 KachelY 16928 -0.23115173 1.13958599 -13.244019 65.293468
    Oben rechts KachelX + 1 30358 KachelY 16928 -0.23105586 1.13958599 -13.238526 65.293468
    Unten links KachelX 30357 KachelY + 1 16929 -0.23115173 1.13954592 -13.244019 65.291172
    Unten rechts KachelX + 1 30358 KachelY + 1 16929 -0.23105586 1.13954592 -13.238526 65.291172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13958599-1.13954592) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dl = 255.285970000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13958599-1.13954592) × R
    4.00700000000587e-05 × 6371000     		dr = 255.285970000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23115173--0.23105586) × cos(1.13958599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.417970651512596 × 6371000     		do = 255.29136216282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23115173--0.23105586) × cos(1.13954592) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418007053190474 × 6371000     		du = 255.313595862475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13958599)-sin(1.13954592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417970651512596-0.418007053190474)×R²
    abs(-0.23105586--0.23115173)×3.64016778774956e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64016778774956e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64016778774956e-05×40589641000000     		ar = 65175.1410071393m²