Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30356 / 13172
↖ ↑ ↗
← N 72.626814°
W 13.249512°		 ← 182.38 m → N 72.626814°
W 13.244019°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
N 72.625174°
W 13.249512°		 ← 182.39 m →
33 268 m²		 N 72.625174°
W 13.244019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463203430175781 y=0.200996398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463203430175781 × 216)
    floor (0.463203430175781 × 65536)
    floor (30356.5)     		tx = 30356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200996398925781 × 216)
    floor (0.200996398925781 × 65536)
    floor (13172.5)     		ty = 13172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30356 / 13172 ti = "16/30356/13172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30356/13172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30356 ÷ 216
    30356 ÷ 65536     		x = 0.46319580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13172 ÷ 216
    13172 ÷ 65536     		y = 0.20098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46319580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0736083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23124760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20098876953125 × 2 - 1) × π
    0.5980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.87874296990924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23124760} λ = -0.23124760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87874296990924))-π/2
    2×atan(6.54527208488791)-π/2
    2×1.41918667756021-π/2
    2.83837335512042-1.57079632675     		φ = 1.26757703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23124760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.249512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26757703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.626814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30356 KachelY 13172 -0.23124760 1.26757703 -13.249512 72.626814
    Oben rechts KachelX + 1 30357 KachelY 13172 -0.23115173 1.26757703 -13.244019 72.626814
    Unten links KachelX 30356 KachelY + 1 13173 -0.23124760 1.26754840 -13.249512 72.625174
    Unten rechts KachelX + 1 30357 KachelY + 1 13173 -0.23115173 1.26754840 -13.244019 72.625174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26757703-1.26754840) × R
    2.8630000000085e-05 × 6371000     		dl = 182.401730000541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26757703-1.26754840) × R
    2.8630000000085e-05 × 6371000     		dr = 182.401730000541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23124760--0.23115173) × cos(1.26757703) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298594181681011 × 6371000     		do = 182.377674363915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23124760--0.23115173) × cos(1.26754840) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.298621505462985 × 6371000     		du = 182.394363395776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26757703)-sin(1.26754840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298594181681011-0.298621505462985)×R²
    abs(-0.23115173--0.23124760)×2.73237819746752e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.73237819746752e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.73237819746752e-05×40589641000000     		ar = 33267.5253739531m²