Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30355 / 20648
↖ ↑ ↗
← N 55.254077°
W 13.255005°		 ← 348.15 m → N 55.254077°
W 13.249512°		 →
↑
348.11 m
↓
↑
348.11 m
↓
N 55.250946°
W 13.255005°		 ← 348.18 m →
121 199 m²		 N 55.250946°
W 13.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463188171386719 y=0.315071105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463188171386719 × 216)
    floor (0.463188171386719 × 65536)
    floor (30355.5)     		tx = 30355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315071105957031 × 216)
    floor (0.315071105957031 × 65536)
    floor (20648.5)     		ty = 20648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30355 / 20648 ti = "16/30355/20648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30355/20648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30355 ÷ 216
    30355 ÷ 65536     		x = 0.463180541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20648 ÷ 216
    20648 ÷ 65536     		y = 0.3150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463180541992188 × 2 - 1) × π
    -0.073638916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23134348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3150634765625 × 2 - 1) × π
    0.369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16199044679016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23134348} λ = -0.23134348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16199044679016))-π/2
    2×atan(3.19628899182504)-π/2
    2×1.26758094837354-π/2
    2.53516189674708-1.57079632675     		φ = 0.96436557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23134348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.255005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96436557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.254077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30355 KachelY 20648 -0.23134348 0.96436557 -13.255005 55.254077
    Oben rechts KachelX + 1 30356 KachelY 20648 -0.23124760 0.96436557 -13.249512 55.254077
    Unten links KachelX 30355 KachelY + 1 20649 -0.23134348 0.96431093 -13.255005 55.250946
    Unten rechts KachelX + 1 30356 KachelY + 1 20649 -0.23124760 0.96431093 -13.249512 55.250946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96436557-0.96431093) × R
    5.46399999999947e-05 × 6371000     		dl = 348.111439999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96436557-0.96431093) × R
    5.46399999999947e-05 × 6371000     		dr = 348.111439999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23134348--0.23124760) × cos(0.96436557) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569938294176034 × 6371000     		do = 348.147650506079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23134348--0.23124760) × cos(0.96431093) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569983190330001 × 6371000     		du = 348.175075388176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96436557)-sin(0.96431093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569938294176034-0.569983190330001)×R²
    abs(-0.23124760--0.23134348)×4.48961539668558e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48961539668558e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48961539668558e-05×40589641000000     		ar = 121198.953437835m²