Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30355 / 20098
↖ ↑ ↗
← N 56.938982°
W 13.255005°		 ← 333.24 m → N 56.938982°
W 13.249512°		 →
↑
333.27 m
↓
↑
333.27 m
↓
N 56.935984°
W 13.255005°		 ← 333.27 m →
111 062 m²		 N 56.935984°
W 13.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463188171386719 y=0.306678771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463188171386719 × 216)
    floor (0.463188171386719 × 65536)
    floor (30355.5)     		tx = 30355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306678771972656 × 216)
    floor (0.306678771972656 × 65536)
    floor (20098.5)     		ty = 20098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30355 / 20098 ti = "16/30355/20098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30355/20098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30355 ÷ 216
    30355 ÷ 65536     		x = 0.463180541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20098 ÷ 216
    20098 ÷ 65536     		y = 0.306671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463180541992188 × 2 - 1) × π
    -0.073638916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23134348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306671142578125 × 2 - 1) × π
    0.38665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21472103637222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23134348} λ = -0.23134348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21472103637222))-π/2
    2×atan(3.36935400598989)-π/2
    2×1.28228451133484-π/2
    2.56456902266969-1.57079632675     		φ = 0.99377270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23134348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.255005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99377270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.938982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30355 KachelY 20098 -0.23134348 0.99377270 -13.255005 56.938982
    Oben rechts KachelX + 1 30356 KachelY 20098 -0.23124760 0.99377270 -13.249512 56.938982
    Unten links KachelX 30355 KachelY + 1 20099 -0.23134348 0.99372039 -13.255005 56.935984
    Unten rechts KachelX + 1 30356 KachelY + 1 20099 -0.23124760 0.99372039 -13.249512 56.935984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99377270-0.99372039) × R
    5.23099999999443e-05 × 6371000     		dl = 333.267009999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99377270-0.99372039) × R
    5.23099999999443e-05 × 6371000     		dr = 333.267009999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23134348--0.23124760) × cos(0.99377270) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545531888034705 × 6371000     		do = 333.238961193169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23134348--0.23124760) × cos(0.99372039) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545575727779671 × 6371000     		du = 333.265740766264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99377270)-sin(0.99372039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545531888034705-0.545575727779671)×R²
    abs(-0.23124760--0.23134348)×4.38397449658012e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38397449658012e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38397449658012e-05×40589641000000     		ar = 111062.014611427m²