Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30354 / 16934
↖ ↑ ↗
← N 65.279689°
W 13.260498°		 ← 255.42 m → N 65.279689°
W 13.255005°		 →
↑
255.48 m
↓
↑
255.48 m
↓
N 65.277391°
W 13.260498°		 ← 255.45 m →
65 258 m²		 N 65.277391°
W 13.255005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463172912597656 y=0.258399963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463172912597656 × 216)
    floor (0.463172912597656 × 65536)
    floor (30354.5)     		tx = 30354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258399963378906 × 216)
    floor (0.258399963378906 × 65536)
    floor (16934.5)     		ty = 16934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30354 / 16934 ti = "16/30354/16934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30354/16934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30354 ÷ 216
    30354 ÷ 65536     		x = 0.463165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16934 ÷ 216
    16934 ÷ 65536     		y = 0.258392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.07366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23143935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258392333984375 × 2 - 1) × π
    0.48321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51806573716794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23143935} λ = -0.23143935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51806573716794))-π/2
    2×atan(4.5633898575746)-π/2
    2×1.35507091125683-π/2
    2.71014182251366-1.57079632675     		φ = 1.13934550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23143935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.260498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13934550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.279689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30354 KachelY 16934 -0.23143935 1.13934550 -13.260498 65.279689
    Oben rechts KachelX + 1 30355 KachelY 16934 -0.23134348 1.13934550 -13.255005 65.279689
    Unten links KachelX 30354 KachelY + 1 16935 -0.23143935 1.13930540 -13.260498 65.277391
    Unten rechts KachelX + 1 30355 KachelY + 1 16935 -0.23134348 1.13930540 -13.255005 65.277391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13934550-1.13930540) × R
    4.00999999998763e-05 × 6371000     		dl = 255.477099999212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13934550-1.13930540) × R
    4.00999999998763e-05 × 6371000     		dr = 255.477099999212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23143935--0.23134348) × cos(1.13934550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41818911509658 × 6371000     		do = 255.424797048108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23143935--0.23134348) × cos(1.13930540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418225539995779 × 6371000     		du = 255.447044931062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13934550)-sin(1.13930540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41818911509658-0.418225539995779)×R²
    abs(-0.23134348--0.23143935)×3.642489919925e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.642489919925e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.642489919925e-05×40589641000000     		ar = 65258.0283389117m²