Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30352 / 20657
↖ ↑ ↗
← N 55.225890°
W 13.271484°		 ← 348.36 m → N 55.225890°
W 13.265991°		 →
↑
348.43 m
↓
↑
348.43 m
↓
N 55.222757°
W 13.271484°		 ← 348.39 m →
121 383 m²		 N 55.222757°
W 13.265991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463142395019531 y=0.315208435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463142395019531 × 216)
    floor (0.463142395019531 × 65536)
    floor (30352.5)     		tx = 30352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315208435058594 × 216)
    floor (0.315208435058594 × 65536)
    floor (20657.5)     		ty = 20657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30352 / 20657 ti = "16/30352/20657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30352/20657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30352 ÷ 216
    30352 ÷ 65536     		x = 0.463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20657 ÷ 216
    20657 ÷ 65536     		y = 0.315200805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.07373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23163110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315200805664062 × 2 - 1) × π
    0.369598388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.161127582597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23163110} λ = -0.23163110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.161127582597))-π/2
    2×atan(3.19353221803474)-π/2
    2×1.26733497152119-π/2
    2.53466994304238-1.57079632675     		φ = 0.96387362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23163110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96387362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.225890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30352 KachelY 20657 -0.23163110 0.96387362 -13.271484 55.225890
    Oben rechts KachelX + 1 30353 KachelY 20657 -0.23153523 0.96387362 -13.265991 55.225890
    Unten links KachelX 30352 KachelY + 1 20658 -0.23163110 0.96381893 -13.271484 55.222757
    Unten rechts KachelX + 1 30353 KachelY + 1 20658 -0.23153523 0.96381893 -13.265991 55.222757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96387362-0.96381893) × R
    5.46900000000239e-05 × 6371000     		dl = 348.429990000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96387362-0.96381893) × R
    5.46900000000239e-05 × 6371000     		dr = 348.429990000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23163110--0.23153523) × cos(0.96387362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570342454356561 × 6371000     		do = 348.358195832763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23163110--0.23153523) × cos(0.96381893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570387376253258 × 6371000     		du = 348.385633577871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96387362)-sin(0.96381893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570342454356561-0.570387376253258)×R²
    abs(-0.23153523--0.23163110)×4.49218966974696e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49218966974696e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49218966974696e-05×40589641000000     		ar = 121383.222787666m²