Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30351 / 20325
↖ ↑ ↗
← N 56.252506°
W 13.276977°		 ← 339.31 m → N 56.252506°
W 13.271484°		 →
↑
339.32 m
↓
↑
339.32 m
↓
N 56.249454°
W 13.276977°		 ← 339.34 m →
115 140 m²		 N 56.249454°
W 13.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463127136230469 y=0.310142517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463127136230469 × 216)
    floor (0.463127136230469 × 65536)
    floor (30351.5)     		tx = 30351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310142517089844 × 216)
    floor (0.310142517089844 × 65536)
    floor (20325.5)     		ty = 20325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30351 / 20325 ti = "16/30351/20325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30351/20325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30351 ÷ 216
    30351 ÷ 65536     		x = 0.463119506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20325 ÷ 216
    20325 ÷ 65536     		y = 0.310134887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463119506835938 × 2 - 1) × π
    -0.073760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23172697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310134887695312 × 2 - 1) × π
    0.379730224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19295768394472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23172697} λ = -0.23172697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19295768394472))-π/2
    2×atan(3.29681774639989)-π/2
    2×1.27629388391874-π/2
    2.55258776783749-1.57079632675     		φ = 0.98179144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23172697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.276977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98179144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.252506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30351 KachelY 20325 -0.23172697 0.98179144 -13.276977 56.252506
    Oben rechts KachelX + 1 30352 KachelY 20325 -0.23163110 0.98179144 -13.271484 56.252506
    Unten links KachelX 30351 KachelY + 1 20326 -0.23172697 0.98173818 -13.276977 56.249454
    Unten rechts KachelX + 1 30352 KachelY + 1 20326 -0.23163110 0.98173818 -13.271484 56.249454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98179144-0.98173818) × R
    5.32599999999439e-05 × 6371000     		dl = 339.319459999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98179144-0.98173818) × R
    5.32599999999439e-05 × 6371000     		dr = 339.319459999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23172697--0.23163110) × cos(0.98179144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555533867538514 × 6371000     		do = 339.313292113317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23172697--0.23163110) × cos(0.98173818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555578152116207 × 6371000     		du = 339.340340591771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98179144)-sin(0.98173818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555533867538514-0.555578152116207)×R²
    abs(-0.23163110--0.23172697)×4.42845776931211e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42845776931211e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42845776931211e-05×40589641000000     		ar = 115140.192115722m²