Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30351 / 20310
↖ ↑ ↗
← N 56.298253°
W 13.276977°		 ← 338.91 m → N 56.298253°
W 13.271484°		 →
↑
338.94 m
↓
↑
338.94 m
↓
N 56.295205°
W 13.276977°		 ← 338.93 m →
114 873 m²		 N 56.295205°
W 13.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463127136230469 y=0.309913635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463127136230469 × 216)
    floor (0.463127136230469 × 65536)
    floor (30351.5)     		tx = 30351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309913635253906 × 216)
    floor (0.309913635253906 × 65536)
    floor (20310.5)     		ty = 20310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30351 / 20310 ti = "16/30351/20310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30351/20310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30351 ÷ 216
    30351 ÷ 65536     		x = 0.463119506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20310 ÷ 216
    20310 ÷ 65536     		y = 0.309906005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463119506835938 × 2 - 1) × π
    -0.073760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23172697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309906005859375 × 2 - 1) × π
    0.38018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19439579093332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23172697} λ = -0.23172697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19439579093332))-π/2
    2×atan(3.3015623338356)-π/2
    2×1.27669310370779-π/2
    2.55338620741558-1.57079632675     		φ = 0.98258988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23172697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.276977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98258988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.298253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30351 KachelY 20310 -0.23172697 0.98258988 -13.276977 56.298253
    Oben rechts KachelX + 1 30352 KachelY 20310 -0.23163110 0.98258988 -13.271484 56.298253
    Unten links KachelX 30351 KachelY + 1 20311 -0.23172697 0.98253668 -13.276977 56.295205
    Unten rechts KachelX + 1 30352 KachelY + 1 20311 -0.23163110 0.98253668 -13.271484 56.295205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98258988-0.98253668) × R
    5.31999999999755e-05 × 6371000     		dl = 338.937199999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98258988-0.98253668) × R
    5.31999999999755e-05 × 6371000     		dr = 338.937199999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23172697--0.23163110) × cos(0.98258988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554869792533523 × 6371000     		do = 338.907683221906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23172697--0.23163110) × cos(0.98253668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554914050807609 × 6371000     		du = 338.934715634439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98258988)-sin(0.98253668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554869792533523-0.554914050807609)×R²
    abs(-0.23163110--0.23172697)×4.42582740863839e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42582740863839e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42582740863839e-05×40589641000000     		ar = 114873.002381909m²