Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30351 / 16955
↖ ↑ ↗
← N 65.231403°
W 13.276977°		 ← 255.89 m → N 65.231403°
W 13.271484°		 →
↑
255.86 m
↓
↑
255.86 m
↓
N 65.229102°
W 13.276977°		 ← 255.91 m →
65 475 m²		 N 65.229102°
W 13.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463127136230469 y=0.258720397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463127136230469 × 216)
    floor (0.463127136230469 × 65536)
    floor (30351.5)     		tx = 30351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258720397949219 × 216)
    floor (0.258720397949219 × 65536)
    floor (16955.5)     		ty = 16955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30351 / 16955 ti = "16/30351/16955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30351/16955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30351 ÷ 216
    30351 ÷ 65536     		x = 0.463119506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16955 ÷ 216
    16955 ÷ 65536     		y = 0.258712768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463119506835938 × 2 - 1) × π
    -0.073760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23172697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258712768554688 × 2 - 1) × π
    0.482574462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.5160523873839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23172697} λ = -0.23172697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5160523873839))-π/2
    2×atan(4.55421140041319)-π/2
    2×1.35464954563138-π/2
    2.70929909126277-1.57079632675     		φ = 1.13850276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23172697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.276977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13850276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.231403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30351 KachelY 16955 -0.23172697 1.13850276 -13.276977 65.231403
    Oben rechts KachelX + 1 30352 KachelY 16955 -0.23163110 1.13850276 -13.271484 65.231403
    Unten links KachelX 30351 KachelY + 1 16956 -0.23172697 1.13846260 -13.276977 65.229102
    Unten rechts KachelX + 1 30352 KachelY + 1 16956 -0.23163110 1.13846260 -13.271484 65.229102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13850276-1.13846260) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dl = 255.859359999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13850276-1.13846260) × R
    4.01599999999558e-05 × 6371000     		dr = 255.859359999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23172697--0.23163110) × cos(1.13850276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418954477799314 × 6371000     		do = 255.892271226552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23172697--0.23163110) × cos(1.13846260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41899094303216 × 6371000     		du = 255.914543744804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13850276)-sin(1.13846260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418954477799314-0.41899094303216)×R²
    abs(-0.23163110--0.23172697)×3.64652328461168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64652328461168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64652328461168e-05×40589641000000     		ar = 65475.282070117m²