Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30350 / 20619
↖ ↑ ↗
← N 55.344765°
W 13.282471°		 ← 347.35 m → N 55.344765°
W 13.276977°		 →
↑
347.35 m
↓
↑
347.35 m
↓
N 55.341642°
W 13.282471°		 ← 347.38 m →
120 657 m²		 N 55.341642°
W 13.276977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463111877441406 y=0.314628601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463111877441406 × 216)
    floor (0.463111877441406 × 65536)
    floor (30350.5)     		tx = 30350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314628601074219 × 216)
    floor (0.314628601074219 × 65536)
    floor (20619.5)     		ty = 20619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30350 / 20619 ti = "16/30350/20619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30350/20619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30350 ÷ 216
    30350 ÷ 65536     		x = 0.463104248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20619 ÷ 216
    20619 ÷ 65536     		y = 0.314620971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.07379150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23182285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314620971679688 × 2 - 1) × π
    0.370758056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16477078696812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23182285} λ = -0.23182285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16477078696812))-π/2
    2×atan(3.20518812810973)-π/2
    2×1.26837235485544-π/2
    2.53674470971088-1.57079632675     		φ = 0.96594838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23182285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.282471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96594838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.344765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30350 KachelY 20619 -0.23182285 0.96594838 -13.282471 55.344765
    Oben rechts KachelX + 1 30351 KachelY 20619 -0.23172697 0.96594838 -13.276977 55.344765
    Unten links KachelX 30350 KachelY + 1 20620 -0.23182285 0.96589386 -13.282471 55.341642
    Unten rechts KachelX + 1 30351 KachelY + 1 20620 -0.23172697 0.96589386 -13.276977 55.341642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96594838-0.96589386) × R
    5.45200000000579e-05 × 6371000     		dl = 347.346920000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96594838-0.96589386) × R
    5.45200000000579e-05 × 6371000     		dr = 347.346920000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23182285--0.23172697) × cos(0.96594838) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.568637005604293 × 6371000     		do = 347.352756456124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23182285--0.23172697) × cos(0.96589386) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.568681852288002 × 6371000     		du = 347.380151119241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96594838)-sin(0.96589386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568637005604293-0.568681852288002)×R²
    abs(-0.23172697--0.23182285)×4.48466837092987e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48466837092987e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48466837092987e-05×40589641000000     		ar = 120656.667864427m²