Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3035 / 5069
↖ ↑ ↗
← S 39.266285°
W 46.625977°		 ← 3 783.19 m → S 39.266285°
W 46.582031°		 →
↑
3 782.27 m
↓
↑
3 782.27 m
↓
S 39.300299°
W 46.625977°		 ← 3 781.35 m →
14 305 562 m²		 S 39.300299°
W 46.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37054443359375 y=0.61883544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37054443359375 × 213)
    floor (0.37054443359375 × 8192)
    floor (3035.5)     		tx = 3035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61883544921875 × 213)
    floor (0.61883544921875 × 8192)
    floor (5069.5)     		ty = 5069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3035 / 5069 ti = "13/3035/5069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3035/5069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3035 ÷ 213
    3035 ÷ 8192     		x = 0.3704833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5069 ÷ 213
    5069 ÷ 8192     		y = 0.6187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3704833984375 × 2 - 1) × π
    -0.259033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.81377681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.237548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.746281653285034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81377681} λ = -0.81377681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746281653285034))-π/2
    2×atan(0.474126244905976)-π/2
    2×0.442735189310336-π/2
    0.885470378620672-1.57079632675     		φ = -0.68532595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81377681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.625977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68532595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.266285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3035 KachelY 5069 -0.81377681 -0.68532595 -46.625977 -39.266285
    Oben rechts KachelX + 1 3036 KachelY 5069 -0.81300982 -0.68532595 -46.582031 -39.266285
    Unten links KachelX 3035 KachelY + 1 5070 -0.81377681 -0.68591962 -46.625977 -39.300299
    Unten rechts KachelX + 1 3036 KachelY + 1 5070 -0.81300982 -0.68591962 -46.582031 -39.300299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68532595--0.68591962) × R
    0.000593669999999991 × 6371000     		dl = 3782.27156999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68532595--0.68591962) × R
    0.000593669999999991 × 6371000     		dr = 3782.27156999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81377681--0.81300982) × cos(-0.68532595) × R
    0.000766990000000023 × 0.77421278618903 × 6371000     		do = 3783.18558474501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81377681--0.81300982) × cos(-0.68591962) × R
    0.000766990000000023 × 0.773836900955659 × 6371000     		du = 3781.34882407433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68532595)-sin(-0.68591962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77421278618903-0.773836900955659)×R²
    abs(-0.81300982--0.81377681)×0.000375885233370732×R²
    0.000766990000000023×0.000375885233370732×6371000²
    0.000766990000000023×0.000375885233370732×40589641000000     		ar = 14305562.1375391m²