Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30349 / 20313
↖ ↑ ↗
← N 56.289108°
W 13.287964°		 ← 338.99 m → N 56.289108°
W 13.282471°		 →
↑
339 m
↓
↑
339 m
↓
N 56.286059°
W 13.287964°		 ← 339.02 m →
114 922 m²		 N 56.286059°
W 13.282471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463096618652344 y=0.309959411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463096618652344 × 216)
    floor (0.463096618652344 × 65536)
    floor (30349.5)     		tx = 30349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309959411621094 × 216)
    floor (0.309959411621094 × 65536)
    floor (20313.5)     		ty = 20313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30349 / 20313 ti = "16/30349/20313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30349/20313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30349 ÷ 216
    30349 ÷ 65536     		x = 0.463088989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20313 ÷ 216
    20313 ÷ 65536     		y = 0.309951782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463088989257812 × 2 - 1) × π
    -0.073822021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23191872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309951782226562 × 2 - 1) × π
    0.380096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1941081695356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23191872} λ = -0.23191872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1941081695356))-π/2
    2×atan(3.30061287041202)-π/2
    2×1.27661329794786-π/2
    2.55322659589573-1.57079632675     		φ = 0.98243027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23191872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.287964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98243027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.289108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30349 KachelY 20313 -0.23191872 0.98243027 -13.287964 56.289108
    Oben rechts KachelX + 1 30350 KachelY 20313 -0.23182285 0.98243027 -13.282471 56.289108
    Unten links KachelX 30349 KachelY + 1 20314 -0.23191872 0.98237706 -13.287964 56.286059
    Unten rechts KachelX + 1 30350 KachelY + 1 20314 -0.23182285 0.98237706 -13.282471 56.286059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98243027-0.98237706) × R
    5.32100000000257e-05 × 6371000     		dl = 339.000910000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98243027-0.98237706) × R
    5.32100000000257e-05 × 6371000     		dr = 339.000910000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23191872--0.23182285) × cos(0.98243027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555002570962523 × 6371000     		do = 338.988782662459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23191872--0.23182285) × cos(0.98237706) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55504683284251 × 6371000     		du = 339.015817277432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98243027)-sin(0.98237706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555002570962523-0.55504683284251)×R²
    abs(-0.23182285--0.23191872)×4.4261879986629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4261879986629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4261879986629e-05×40589641000000     		ar = 114922.088209097m²