Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30348 / 20133
↖ ↑ ↗
← N 56.833949°
W 13.293457°		 ← 334.14 m → N 56.833949°
W 13.287964°		 →
↑
334.16 m
↓
↑
334.16 m
↓
N 56.830944°
W 13.293457°		 ← 334.17 m →
111 661 m²		 N 56.830944°
W 13.287964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463081359863281 y=0.307212829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463081359863281 × 216)
    floor (0.463081359863281 × 65536)
    floor (30348.5)     		tx = 30348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307212829589844 × 216)
    floor (0.307212829589844 × 65536)
    floor (20133.5)     		ty = 20133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30348 / 20133 ti = "16/30348/20133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30348/20133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30348 ÷ 216
    30348 ÷ 65536     		x = 0.46307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20133 ÷ 216
    20133 ÷ 65536     		y = 0.307205200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.0738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23201459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307205200195312 × 2 - 1) × π
    0.385589599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21136545339882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23201459} λ = -0.23201459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21136545339882))-π/2
    2×atan(3.35806680721313)-π/2
    2×1.28136793485274-π/2
    2.56273586970548-1.57079632675     		φ = 0.99193954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23201459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99193954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.833949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30348 KachelY 20133 -0.23201459 0.99193954 -13.293457 56.833949
    Oben rechts KachelX + 1 30349 KachelY 20133 -0.23191872 0.99193954 -13.287964 56.833949
    Unten links KachelX 30348 KachelY + 1 20134 -0.23201459 0.99188709 -13.293457 56.830944
    Unten rechts KachelX + 1 30349 KachelY + 1 20134 -0.23191872 0.99188709 -13.287964 56.830944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99193954-0.99188709) × R
    5.24499999999817e-05 × 6371000     		dl = 334.158949999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99193954-0.99188709) × R
    5.24499999999817e-05 × 6371000     		dr = 334.158949999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23201459--0.23191872) × cos(0.99193954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547067323737023 × 6371000     		do = 334.142030705197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23201459--0.23191872) × cos(0.99188709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547111228282178 × 6371000     		du = 334.168847064425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99193954)-sin(0.99188709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547067323737023-0.547111228282178)×R²
    abs(-0.23191872--0.23201459)×4.39045451549047e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39045451549047e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39045451549047e-05×40589641000000     		ar = 111661.030619836m²