Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30347 / 20613
↖ ↑ ↗
← N 55.363503°
W 13.298950°		 ← 347.19 m → N 55.363503°
W 13.293457°		 →
↑
347.16 m
↓
↑
347.16 m
↓
N 55.360381°
W 13.298950°		 ← 347.22 m →
120 533 m²		 N 55.360381°
W 13.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463066101074219 y=0.314537048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463066101074219 × 216)
    floor (0.463066101074219 × 65536)
    floor (30347.5)     		tx = 30347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314537048339844 × 216)
    floor (0.314537048339844 × 65536)
    floor (20613.5)     		ty = 20613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30347 / 20613 ti = "16/30347/20613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30347/20613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30347 ÷ 216
    30347 ÷ 65536     		x = 0.463058471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20613 ÷ 216
    20613 ÷ 65536     		y = 0.314529418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463058471679688 × 2 - 1) × π
    -0.073883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23211047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314529418945312 × 2 - 1) × π
    0.370941162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16534602976357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23211047} λ = -0.23211047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16534602976357))-π/2
    2×atan(3.20703241989539)-π/2
    2×1.26853586833281-π/2
    2.53707173666562-1.57079632675     		φ = 0.96627541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23211047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.298950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96627541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.363503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30347 KachelY 20613 -0.23211047 0.96627541 -13.298950 55.363503
    Oben rechts KachelX + 1 30348 KachelY 20613 -0.23201459 0.96627541 -13.293457 55.363503
    Unten links KachelX 30347 KachelY + 1 20614 -0.23211047 0.96622092 -13.298950 55.360381
    Unten rechts KachelX + 1 30348 KachelY + 1 20614 -0.23201459 0.96622092 -13.293457 55.360381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96627541-0.96622092) × R
    5.44899999999071e-05 × 6371000     		dl = 347.155789999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96627541-0.96622092) × R
    5.44899999999071e-05 × 6371000     		dr = 347.155789999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23211047--0.23201459) × cos(0.96627541) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.568367964061497 × 6371000     		do = 347.188412031626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23211047--0.23201459) × cos(0.96622092) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.568412796199516 × 6371000     		du = 347.215797809487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96627541)-sin(0.96622092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568367964061497-0.568412796199516)×R²
    abs(-0.23201459--0.23211047)×4.48321380187577e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.48321380187577e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.48321380187577e-05×40589641000000     		ar = 120533.221052739m²