Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30347 / 20586
↖ ↑ ↗
← N 55.447711°
W 13.298950°		 ← 346.45 m → N 55.447711°
W 13.293457°		 →
↑
346.45 m
↓
↑
346.45 m
↓
N 55.444595°
W 13.298950°		 ← 346.48 m →
120 034 m²		 N 55.444595°
W 13.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463066101074219 y=0.314125061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463066101074219 × 216)
    floor (0.463066101074219 × 65536)
    floor (30347.5)     		tx = 30347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314125061035156 × 216)
    floor (0.314125061035156 × 65536)
    floor (20586.5)     		ty = 20586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30347 / 20586 ti = "16/30347/20586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30347/20586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30347 ÷ 216
    30347 ÷ 65536     		x = 0.463058471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20586 ÷ 216
    20586 ÷ 65536     		y = 0.314117431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.463058471679688 × 2 - 1) × π
    -0.073883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23211047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314117431640625 × 2 - 1) × π
    0.37176513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16793462234305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23211047} λ = -0.23211047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16793462234305))-π/2
    2×atan(3.21534487435697)-π/2
    2×1.26927072178158-π/2
    2.53854144356316-1.57079632675     		φ = 0.96774512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23211047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.298950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96774512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.447711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30347 KachelY 20586 -0.23211047 0.96774512 -13.298950 55.447711
    Oben rechts KachelX + 1 30348 KachelY 20586 -0.23201459 0.96774512 -13.293457 55.447711
    Unten links KachelX 30347 KachelY + 1 20587 -0.23211047 0.96769074 -13.298950 55.444595
    Unten rechts KachelX + 1 30348 KachelY + 1 20587 -0.23201459 0.96769074 -13.293457 55.444595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96774512-0.96769074) × R
    5.43800000000205e-05 × 6371000     		dl = 346.454980000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96774512-0.96769074) × R
    5.43800000000205e-05 × 6371000     		dr = 346.454980000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23211047--0.23201459) × cos(0.96774512) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.567158110753893 × 6371000     		do = 346.449371348093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23211047--0.23201459) × cos(0.96769074) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.567202897769147 × 6371000     		du = 346.476729562646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96774512)-sin(0.96769074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567158110753893-0.567202897769147)×R²
    abs(-0.23201459--0.23211047)×4.47870152542329e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.47870152542329e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.47870152542329e-05×40589641000000     		ar = 120033.849245911m²