Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30343 / 28035
↖ ↑ ↗
← N 25.150257°
W 13.320923°		 ← 552.88 m → N 25.150257°
W 13.315430°		 →
↑
552.88 m
↓
↑
552.88 m
↓
N 25.145285°
W 13.320923°		 ← 552.91 m →
305 682 m²		 N 25.145285°
W 13.315430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.463005065917969 y=0.427787780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.463005065917969 × 216)
    floor (0.463005065917969 × 65536)
    floor (30343.5)     		tx = 30343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427787780761719 × 216)
    floor (0.427787780761719 × 65536)
    floor (28035.5)     		ty = 28035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30343 / 28035 ti = "16/30343/28035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30343/28035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30343 ÷ 216
    30343 ÷ 65536     		x = 0.462997436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28035 ÷ 216
    28035 ÷ 65536     		y = 0.427780151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462997436523438 × 2 - 1) × π
    -0.074005126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23249396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427780151367188 × 2 - 1) × π
    0.144439697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.453770691803452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23249396} λ = -0.23249396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453770691803452))-π/2
    2×atan(1.57423697064272)-π/2
    2×1.00487556048653-π/2
    2.00975112097305-1.57079632675     		φ = 0.43895479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23249396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.320923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43895479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.150257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30343 KachelY 28035 -0.23249396 0.43895479 -13.320923 25.150257
    Oben rechts KachelX + 1 30344 KachelY 28035 -0.23239809 0.43895479 -13.315430 25.150257
    Unten links KachelX 30343 KachelY + 1 28036 -0.23249396 0.43886801 -13.320923 25.145285
    Unten rechts KachelX + 1 30344 KachelY + 1 28036 -0.23239809 0.43886801 -13.315430 25.145285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43895479-0.43886801) × R
    8.67800000000085e-05 × 6371000     		dl = 552.875380000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43895479-0.43886801) × R
    8.67800000000085e-05 × 6371000     		dr = 552.875380000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23249396--0.23239809) × cos(0.43895479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905196365122945 × 6371000     		do = 552.882869265537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23249396--0.23239809) × cos(0.43886801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905233242657106 × 6371000     		du = 552.905393612391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43895479)-sin(0.43886801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905196365122945-0.905233242657106)×R²
    abs(-0.23239809--0.23249396)×3.68775341615946e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68775341615946e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68775341615946e-05×40589641000000     		ar = 305681.553211072m²