Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30342 / 13238
↖ ↑ ↗
← N 72.518232°
W 13.326416°		 ← 183.50 m → N 72.518232°
W 13.320923°		 →
↑
183.48 m
↓
↑
183.48 m
↓
N 72.516582°
W 13.326416°		 ← 183.52 m →
33 671 m²		 N 72.516582°
W 13.320923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462989807128906 y=0.202003479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462989807128906 × 216)
    floor (0.462989807128906 × 65536)
    floor (30342.5)     		tx = 30342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.202003479003906 × 216)
    floor (0.202003479003906 × 65536)
    floor (13238.5)     		ty = 13238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30342 / 13238 ti = "16/30342/13238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30342/13238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30342 ÷ 216
    30342 ÷ 65536     		x = 0.462982177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13238 ÷ 216
    13238 ÷ 65536     		y = 0.201995849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462982177734375 × 2 - 1) × π
    -0.07403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23258984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.201995849609375 × 2 - 1) × π
    0.59600830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.87241529915939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23258984} λ = -0.23258984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.87241529915939))-π/2
    2×atan(6.50398651666188)-π/2
    2×1.41823911700403-π/2
    2.83647823400806-1.57079632675     		φ = 1.26568191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23258984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.326416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26568191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.518232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30342 KachelY 13238 -0.23258984 1.26568191 -13.326416 72.518232
    Oben rechts KachelX + 1 30343 KachelY 13238 -0.23249396 1.26568191 -13.320923 72.518232
    Unten links KachelX 30342 KachelY + 1 13239 -0.23258984 1.26565311 -13.326416 72.516582
    Unten rechts KachelX + 1 30343 KachelY + 1 13239 -0.23249396 1.26565311 -13.320923 72.516582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26568191-1.26565311) × R
    2.8800000000162e-05 × 6371000     		dl = 183.484800001032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26568191-1.26565311) × R
    2.8800000000162e-05 × 6371000     		dr = 183.484800001032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23258984--0.23249396) × cos(1.26568191) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.300402309354559 × 6371000     		do = 183.501195264636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23258984--0.23249396) × cos(1.26565311) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.300429779032499 × 6371000     		du = 183.517975158061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26568191)-sin(1.26565311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300402309354559-0.300429779032499)×R²
    abs(-0.23249396--0.23258984)×2.74696779404837e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.74696779404837e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.74696779404837e-05×40589641000000     		ar = 33671.2195427825m²