Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30341 / 7050
↖ ↑ ↗
← N 71.038391°
E153.336182°		 ← 396.95 m → N 71.038391°
E153.347168°		 →
↑
396.98 m
↓
↑
396.98 m
↓
N 71.034820°
E153.336182°		 ← 397.02 m →
157 595 m²		 N 71.034820°
E153.347168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925949096679688 y=0.215164184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925949096679688 × 215)
    floor (0.925949096679688 × 32768)
    floor (30341.5)     		tx = 30341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215164184570312 × 215)
    floor (0.215164184570312 × 32768)
    floor (7050.5)     		ty = 7050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30341 / 7050 ti = "15/30341/7050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30341/7050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30341 ÷ 215
    30341 ÷ 32768     		x = 0.925933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7050 ÷ 215
    7050 ÷ 32768     		y = 0.21514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925933837890625 × 2 - 1) × π
    0.85186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.67622123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21514892578125 × 2 - 1) × π
    0.5697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.78977208421442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67622123} λ = 2.67622123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78977208421442))-π/2
    2×atan(5.98808753117007)-π/2
    2×1.40532506762656-π/2
    2.81065013525312-1.57079632675     		φ = 1.23985381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67622123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23985381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.038391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30341 KachelY 7050 2.67622123 1.23985381 153.336182 71.038391
    Oben rechts KachelX + 1 30342 KachelY 7050 2.67641298 1.23985381 153.347168 71.038391
    Unten links KachelX 30341 KachelY + 1 7051 2.67622123 1.23979150 153.336182 71.034820
    Unten rechts KachelX + 1 30342 KachelY + 1 7051 2.67641298 1.23979150 153.347168 71.034820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23985381-1.23979150) × R
    6.23100000001209e-05 × 6371000     		dl = 396.97701000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23985381-1.23979150) × R
    6.23100000001209e-05 × 6371000     		dr = 396.97701000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67622123-2.67641298) × cos(1.23985381) × R
    0.000191749999999935 × 0.324934545130469 × 6371000     		do = 396.952794012142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67622123-2.67641298) × cos(1.23979150) × R
    0.000191749999999935 × 0.32499347334142 × 6371000     		du = 397.024783027573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23985381)-sin(1.23979150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324934545130469-0.32499347334142)×R²
    abs(2.67641298-2.67622123)×5.89282109514366e-05×R²
    0.000191749999999935×5.89282109514366e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.89282109514366e-05×40589641000000     		ar = 157595.422320742m²