Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30341 / 20377
↖ ↑ ↗
← N 56.093492°
W 13.331909°		 ← 340.72 m → N 56.093492°
W 13.326416°		 →
↑
340.78 m
↓
↑
340.78 m
↓
N 56.090427°
W 13.331909°		 ← 340.75 m →
116 117 m²		 N 56.090427°
W 13.326416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462974548339844 y=0.310935974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462974548339844 × 216)
    floor (0.462974548339844 × 65536)
    floor (30341.5)     		tx = 30341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310935974121094 × 216)
    floor (0.310935974121094 × 65536)
    floor (20377.5)     		ty = 20377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30341 / 20377 ti = "16/30341/20377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30341/20377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30341 ÷ 216
    30341 ÷ 65536     		x = 0.462966918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20377 ÷ 216
    20377 ÷ 65536     		y = 0.310928344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462966918945312 × 2 - 1) × π
    -0.074066162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23268571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310928344726562 × 2 - 1) × π
    0.378143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18797224638423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23268571} λ = -0.23268571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18797224638423))-π/2
    2×atan(3.28042256989921)-π/2
    2×1.27490622179903-π/2
    2.54981244359807-1.57079632675     		φ = 0.97901612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23268571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.331909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97901612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.093492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30341 KachelY 20377 -0.23268571 0.97901612 -13.331909 56.093492
    Oben rechts KachelX + 1 30342 KachelY 20377 -0.23258984 0.97901612 -13.326416 56.093492
    Unten links KachelX 30341 KachelY + 1 20378 -0.23268571 0.97896263 -13.331909 56.090427
    Unten rechts KachelX + 1 30342 KachelY + 1 20378 -0.23258984 0.97896263 -13.326416 56.090427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97901612-0.97896263) × R
    5.34900000001004e-05 × 6371000     		dl = 340.78479000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97901612-0.97896263) × R
    5.34900000001004e-05 × 6371000     		dr = 340.78479000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23268571--0.23258984) × cos(0.97901612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557839386782847 × 6371000     		do = 340.721475071255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23268571--0.23258984) × cos(0.97896263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557883779952799 × 6371000     		du = 340.748589876533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97901612)-sin(0.97896263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557839386782847-0.557883779952799)×R²
    abs(-0.23258984--0.23268571)×4.43931699519728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43931699519728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43931699519728e-05×40589641000000     		ar = 116117.31651515m²