Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30341 / 13483
↖ ↑ ↗
← N 72.109383°
W 13.331909°		 ← 187.63 m → N 72.109383°
W 13.326416°		 →
↑
187.69 m
↓
↑
187.69 m
↓
N 72.107695°
W 13.331909°		 ← 187.65 m →
35 219 m²		 N 72.107695°
W 13.326416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462974548339844 y=0.205741882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462974548339844 × 216)
    floor (0.462974548339844 × 65536)
    floor (30341.5)     		tx = 30341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205741882324219 × 216)
    floor (0.205741882324219 × 65536)
    floor (13483.5)     		ty = 13483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30341 / 13483 ti = "16/30341/13483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30341/13483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30341 ÷ 216
    30341 ÷ 65536     		x = 0.462966918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13483 ÷ 216
    13483 ÷ 65536     		y = 0.205734252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462966918945312 × 2 - 1) × π
    -0.074066162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23268571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205734252929688 × 2 - 1) × π
    0.588531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84892621834557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23268571} λ = -0.23268571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84892621834557))-π/2
    2×atan(6.35299413021932)-π/2
    2×1.4146712412585-π/2
    2.829342482517-1.57079632675     		φ = 1.25854616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23268571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.331909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25854616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.109383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30341 KachelY 13483 -0.23268571 1.25854616 -13.331909 72.109383
    Oben rechts KachelX + 1 30342 KachelY 13483 -0.23258984 1.25854616 -13.326416 72.109383
    Unten links KachelX 30341 KachelY + 1 13484 -0.23268571 1.25851670 -13.331909 72.107695
    Unten rechts KachelX + 1 30342 KachelY + 1 13484 -0.23258984 1.25851670 -13.326416 72.107695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25854616-1.25851670) × R
    2.94600000001477e-05 × 6371000     		dl = 187.689660000941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25854616-1.25851670) × R
    2.94600000001477e-05 × 6371000     		dr = 187.689660000941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23268571--0.23258984) × cos(1.25854616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307200771717881 × 6371000     		do = 187.63447429984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23268571--0.23258984) × cos(1.25851670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307228807038218 × 6371000     		du = 187.651597930629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25854616)-sin(1.25851670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307200771717881-0.307228807038218)×R²
    abs(-0.23258984--0.23268571)×2.80353203361838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80353203361838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80353203361838e-05×40589641000000     		ar = 35218.6576528177m²