Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30340 / 7053
↖ ↑ ↗
← N 71.027678°
E153.325195°		 ← 397.17 m → N 71.027678°
E153.336182°		 →
↑
397.17 m
↓
↑
397.17 m
↓
N 71.024106°
E153.325195°		 ← 397.24 m →
157 757 m²		 N 71.024106°
E153.336182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925918579101562 y=0.215255737304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925918579101562 × 215)
    floor (0.925918579101562 × 32768)
    floor (30340.5)     		tx = 30340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215255737304688 × 215)
    floor (0.215255737304688 × 32768)
    floor (7053.5)     		ty = 7053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30340 / 7053 ti = "15/30340/7053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30340/7053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30340 ÷ 215
    30340 ÷ 32768     		x = 0.9259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7053 ÷ 215
    7053 ÷ 32768     		y = 0.215240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9259033203125 × 2 - 1) × π
    0.851806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.67602948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215240478515625 × 2 - 1) × π
    0.56951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78919684141898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67602948} λ = 2.67602948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78919684141898))-π/2
    2×atan(5.98464391751123)-π/2
    2×1.40523158407211-π/2
    2.81046316814422-1.57079632675     		φ = 1.23966684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67602948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.325195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23966684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.027678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30340 KachelY 7053 2.67602948 1.23966684 153.325195 71.027678
    Oben rechts KachelX + 1 30341 KachelY 7053 2.67622123 1.23966684 153.336182 71.027678
    Unten links KachelX 30340 KachelY + 1 7054 2.67602948 1.23960450 153.325195 71.024106
    Unten rechts KachelX + 1 30341 KachelY + 1 7054 2.67622123 1.23960450 153.336182 71.024106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23966684-1.23960450) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dl = 397.168139999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23966684-1.23960450) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dr = 397.168139999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67602948-2.67622123) × cos(1.23966684) × R
    0.000191749999999935 × 0.325111363804727 × 6371000     		do = 397.168802644749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67602948-2.67622123) × cos(1.23960450) × R
    0.000191749999999935 × 0.325170316598449 × 6371000     		du = 397.240821691457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23966684)-sin(1.23960450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325111363804727-0.325170316598449)×R²
    abs(2.67622123-2.67602948)×5.89527937220335e-05×R²
    0.000191749999999935×5.89527937220335e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.89527937220335e-05×40589641000000     		ar = 157757.09649842m²