Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30340 / 42067
↖ ↑ ↗
← S 45.410020°
W 13.337402°		 ← 428.79 m → S 45.410020°
W 13.331909°		 →
↑
428.77 m
↓
↑
428.77 m
↓
S 45.413876°
W 13.337402°		 ← 428.76 m →
183 845 m²		 S 45.413876°
W 13.331909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462959289550781 y=0.641899108886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462959289550781 × 216)
    floor (0.462959289550781 × 65536)
    floor (30340.5)     		tx = 30340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641899108886719 × 216)
    floor (0.641899108886719 × 65536)
    floor (42067.5)     		ty = 42067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30340 / 42067 ti = "16/30340/42067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30340/42067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30340 ÷ 216
    30340 ÷ 65536     		x = 0.46295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42067 ÷ 216
    42067 ÷ 65536     		y = 0.641891479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23278158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641891479492188 × 2 - 1) × π
    -0.283782958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.891530459133804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23278158} λ = -0.23278158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.891530459133804))-π/2
    2×atan(0.410027741599981)-π/2
    2×0.389120980160537-π/2
    0.778241960321074-1.57079632675     		φ = -0.79255437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23278158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.337402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79255437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.410020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30340 KachelY 42067 -0.23278158 -0.79255437 -13.337402 -45.410020
    Oben rechts KachelX + 1 30341 KachelY 42067 -0.23268571 -0.79255437 -13.331909 -45.410020
    Unten links KachelX 30340 KachelY + 1 42068 -0.23278158 -0.79262167 -13.337402 -45.413876
    Unten rechts KachelX + 1 30341 KachelY + 1 42068 -0.23268571 -0.79262167 -13.331909 -45.413876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79255437--0.79262167) × R
    6.72999999999924e-05 × 6371000     		dl = 428.768299999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79255437--0.79262167) × R
    6.72999999999924e-05 × 6371000     		dr = 428.768299999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23278158--0.23268571) × cos(-0.79255437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.702028516311131 × 6371000     		do = 428.790431954075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23278158--0.23268571) × cos(-0.79262167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.701980587104769 × 6371000     		du = 428.761157381003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79255437)-sin(-0.79262167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702028516311131-0.701980587104769)×R²
    abs(-0.23268571--0.23278158)×4.79292063618741e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79292063618741e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79292063618741e-05×40589641000000     		ar = 183845.468630138m²