Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30340 / 20092
↖ ↑ ↗
← N 56.956957°
W 13.337402°		 ← 333.04 m → N 56.956957°
W 13.331909°		 →
↑
333.08 m
↓
↑
333.08 m
↓
N 56.953961°
W 13.337402°		 ← 333.07 m →
110 933 m²		 N 56.953961°
W 13.331909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462959289550781 y=0.306587219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462959289550781 × 216)
    floor (0.462959289550781 × 65536)
    floor (30340.5)     		tx = 30340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306587219238281 × 216)
    floor (0.306587219238281 × 65536)
    floor (20092.5)     		ty = 20092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30340 / 20092 ti = "16/30340/20092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30340/20092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30340 ÷ 216
    30340 ÷ 65536     		x = 0.46295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20092 ÷ 216
    20092 ÷ 65536     		y = 0.30657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23278158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30657958984375 × 2 - 1) × π
    0.3868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21529627916766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23278158} λ = -0.23278158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21529627916766))-π/2
    2×atan(3.37129276018085)-π/2
    2×1.28244138016072-π/2
    2.56488276032144-1.57079632675     		φ = 0.99408643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23278158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.337402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99408643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.956957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30340 KachelY 20092 -0.23278158 0.99408643 -13.337402 56.956957
    Oben rechts KachelX + 1 30341 KachelY 20092 -0.23268571 0.99408643 -13.331909 56.956957
    Unten links KachelX 30340 KachelY + 1 20093 -0.23278158 0.99403415 -13.337402 56.953961
    Unten rechts KachelX + 1 30341 KachelY + 1 20093 -0.23268571 0.99403415 -13.331909 56.953961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99408643-0.99403415) × R
    5.22800000000156e-05 × 6371000     		dl = 333.0758800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99408643-0.99403415) × R
    5.22800000000156e-05 × 6371000     		dr = 333.0758800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23278158--0.23268571) × cos(0.99408643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545268927195135 × 6371000     		do = 333.043592091802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23278158--0.23268571) × cos(0.99403415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.545312750744165 × 6371000     		du = 333.070358979587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99408643)-sin(0.99403415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545268927195135-0.545312750744165)×R²
    abs(-0.23268571--0.23278158)×4.38235490300976e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38235490300976e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38235490300976e-05×40589641000000     		ar = 110933.245241858m²