Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30339 / 7049
↖ ↑ ↗
← N 71.041960°
E153.314209°		 ← 396.86 m → N 71.041960°
E153.325195°		 →
↑
396.91 m
↓
↑
396.91 m
↓
N 71.038391°
E153.314209°		 ← 396.93 m →
157 533 m²		 N 71.038391°
E153.325195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925888061523438 y=0.215133666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925888061523438 × 215)
    floor (0.925888061523438 × 32768)
    floor (30339.5)     		tx = 30339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215133666992188 × 215)
    floor (0.215133666992188 × 32768)
    floor (7049.5)     		ty = 7049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30339 / 7049 ti = "15/30339/7049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30339/7049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30339 ÷ 215
    30339 ÷ 32768     		x = 0.925872802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7049 ÷ 215
    7049 ÷ 32768     		y = 0.215118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.925872802734375 × 2 - 1) × π
    0.85174560546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.67583774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215118408203125 × 2 - 1) × π
    0.56976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7899638318129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67583774} λ = 2.67583774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7899638318129))-π/2
    2×atan(5.98923584266313)-π/2
    2×1.40535621751154-π/2
    2.81071243502308-1.57079632675     		φ = 1.23991611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67583774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.314209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23991611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.041960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30339 KachelY 7049 2.67583774 1.23991611 153.314209 71.041960
    Oben rechts KachelX + 1 30340 KachelY 7049 2.67602948 1.23991611 153.325195 71.041960
    Unten links KachelX 30339 KachelY + 1 7050 2.67583774 1.23985381 153.314209 71.038391
    Unten rechts KachelX + 1 30340 KachelY + 1 7050 2.67602948 1.23985381 153.325195 71.038391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23991611-1.23985381) × R
    6.22999999999596e-05 × 6371000     		dl = 396.913299999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23991611-1.23985381) × R
    6.22999999999596e-05 × 6371000     		dr = 396.913299999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67583774-2.67602948) × cos(1.23991611) × R
    0.000191739999999996 × 0.324875625115515 × 6371000     		do = 396.860117183314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67583774-2.67602948) × cos(1.23985381) × R
    0.000191739999999996 × 0.324934545130469 × 6371000     		du = 396.932092432398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23991611)-sin(1.23985381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324875625115515-0.324934545130469)×R²
    abs(2.67602948-2.67583774)×5.89200149538893e-05×R²
    0.000191739999999996×5.89200149538893e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.89200149538893e-05×40589641000000     		ar = 157533.342767221m²