Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30338 / 7048
↖ ↑ ↗
← N 71.045529°
E153.303223°		 ← 396.81 m → N 71.045529°
E153.314209°		 →
↑
396.85 m
↓
↑
396.85 m
↓
N 71.041960°
E153.303223°		 ← 396.88 m →
157 488 m²		 N 71.041960°
E153.314209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.925857543945312 y=0.215103149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.925857543945312 × 215)
    floor (0.925857543945312 × 32768)
    floor (30338.5)     		tx = 30338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215103149414062 × 215)
    floor (0.215103149414062 × 32768)
    floor (7048.5)     		ty = 7048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30338 / 7048 ti = "15/30338/7048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30338/7048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30338 ÷ 215
    30338 ÷ 32768     		x = 0.92584228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7048 ÷ 215
    7048 ÷ 32768     		y = 0.215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.92584228515625 × 2 - 1) × π
    0.8516845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.67564599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215087890625 × 2 - 1) × π
    0.56982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79015557941138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.67564599} λ = 2.67564599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79015557941138))-π/2
    2×atan(5.99038437436327)-π/2
    2×1.4053873617481-π/2
    2.81077472349621-1.57079632675     		φ = 1.23997840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.67564599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 153.303223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23997840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.045529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30338 KachelY 7048 2.67564599 1.23997840 153.303223 71.045529
    Oben rechts KachelX + 1 30339 KachelY 7048 2.67583774 1.23997840 153.314209 71.045529
    Unten links KachelX 30338 KachelY + 1 7049 2.67564599 1.23991611 153.303223 71.041960
    Unten rechts KachelX + 1 30339 KachelY + 1 7049 2.67583774 1.23991611 153.314209 71.041960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23997840-1.23991611) × R
    6.22900000000204e-05 × 6371000     		dl = 396.84959000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23997840-1.23991611) × R
    6.22900000000204e-05 × 6371000     		dr = 396.84959000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.67564599-2.67583774) × cos(1.23997840) × R
    0.000191749999999935 × 0.324816713297394 × 6371000     		do = 396.808846019959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.67564599-2.67583774) × cos(1.23991611) × R
    0.000191749999999935 × 0.324875625115515 × 6371000     		du = 396.880815009264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23997840)-sin(1.23991611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324816713297394-0.324875625115515)×R²
    abs(2.67583774-2.67564599)×5.89118181205661e-05×R²
    0.000191749999999935×5.89118181205661e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.89118181205661e-05×40589641000000     		ar = 157487.708334759m²