Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30337 / 42086
↖ ↑ ↗
← S 45.483243°
W 13.353882°		 ← 428.28 m → S 45.483243°
W 13.348389°		 →
↑
428.26 m
↓
↑
428.26 m
↓
S 45.487095°
W 13.353882°		 ← 428.25 m →
183 408 m²		 S 45.487095°
W 13.348389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462913513183594 y=0.642189025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462913513183594 × 216)
    floor (0.462913513183594 × 65536)
    floor (30337.5)     		tx = 30337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642189025878906 × 216)
    floor (0.642189025878906 × 65536)
    floor (42086.5)     		ty = 42086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30337 / 42086 ti = "16/30337/42086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30337/42086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30337 ÷ 216
    30337 ÷ 65536     		x = 0.462905883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42086 ÷ 216
    42086 ÷ 65536     		y = 0.642181396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462905883789062 × 2 - 1) × π
    -0.074188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23306921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642181396484375 × 2 - 1) × π
    -0.28436279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.893352061319367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23306921} λ = -0.23306921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.893352061319367))-π/2
    2×atan(0.409281514040964)-π/2
    2×0.388481986549978-π/2
    0.776963973099956-1.57079632675     		φ = -0.79383235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23306921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.353882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79383235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.483243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30337 KachelY 42086 -0.23306921 -0.79383235 -13.353882 -45.483243
    Oben rechts KachelX + 1 30338 KachelY 42086 -0.23297333 -0.79383235 -13.348389 -45.483243
    Unten links KachelX 30337 KachelY + 1 42087 -0.23306921 -0.79389957 -13.353882 -45.487095
    Unten rechts KachelX + 1 30338 KachelY + 1 42087 -0.23297333 -0.79389957 -13.348389 -45.487095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79383235--0.79389957) × R
    6.72200000000345e-05 × 6371000     		dl = 428.25862000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79383235--0.79389957) × R
    6.72200000000345e-05 × 6371000     		dr = 428.25862000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23306921--0.23297333) × cos(-0.79383235) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.701117831303578 × 6371000     		do = 428.278864906148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23306921--0.23297333) × cos(-0.79389957) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.701069898805734 × 6371000     		du = 428.2495852689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79383235)-sin(-0.79389957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701117831303578-0.701069898805734)×R²
    abs(-0.23297333--0.23306921)×4.79324978441831e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79324978441831e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79324978441831e-05×40589641000000     		ar = 183407.846100598m²