Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30335 / 20351
↖ ↑ ↗
← N 56.173081°
W 13.364868°		 ← 340.02 m → N 56.173081°
W 13.359375°		 →
↑
340.08 m
↓
↑
340.08 m
↓
N 56.170023°
W 13.364868°		 ← 340.04 m →
115 639 m²		 N 56.170023°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462882995605469 y=0.310539245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462882995605469 × 216)
    floor (0.462882995605469 × 65536)
    floor (30335.5)     		tx = 30335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310539245605469 × 216)
    floor (0.310539245605469 × 65536)
    floor (20351.5)     		ty = 20351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30335 / 20351 ti = "16/30335/20351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30335/20351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30335 ÷ 216
    30335 ÷ 65536     		x = 0.462875366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20351 ÷ 216
    20351 ÷ 65536     		y = 0.310531616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462875366210938 × 2 - 1) × π
    -0.074249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23326095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310531616210938 × 2 - 1) × π
    0.378936767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.19046496516447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23326095} λ = -0.23326095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19046496516447))-π/2
    2×atan(3.28860994101375)-π/2
    2×1.2756007712367-π/2
    2.55120154247339-1.57079632675     		φ = 0.98040522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23326095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.364868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98040522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.173081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30335 KachelY 20351 -0.23326095 0.98040522 -13.364868 56.173081
    Oben rechts KachelX + 1 30336 KachelY 20351 -0.23316508 0.98040522 -13.359375 56.173081
    Unten links KachelX 30335 KachelY + 1 20352 -0.23326095 0.98035184 -13.364868 56.170023
    Unten rechts KachelX + 1 30336 KachelY + 1 20352 -0.23316508 0.98035184 -13.359375 56.170023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98040522-0.98035184) × R
    5.33799999999918e-05 × 6371000     		dl = 340.083979999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98040522-0.98035184) × R
    5.33799999999918e-05 × 6371000     		dr = 340.083979999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23326095--0.23316508) × cos(0.98040522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556685966898501 × 6371000     		do = 340.016980312222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23326095--0.23316508) × cos(0.98035184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556730310100116 × 6371000     		du = 340.044064597451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98040522)-sin(0.98035184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556685966898501-0.556730310100116)×R²
    abs(-0.23316508--0.23326095)×4.43432016146161e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43432016146161e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43432016146161e-05×40589641000000     		ar = 115638.933425123m²