Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30335 / 13436
↖ ↑ ↗
← N 72.188526°
W 13.364868°		 ← 186.83 m → N 72.188526°
W 13.359375°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
N 72.186845°
W 13.364868°		 ← 186.85 m →
34 913 m²		 N 72.186845°
W 13.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462882995605469 y=0.205024719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462882995605469 × 216)
    floor (0.462882995605469 × 65536)
    floor (30335.5)     		tx = 30335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205024719238281 × 216)
    floor (0.205024719238281 × 65536)
    floor (13436.5)     		ty = 13436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30335 / 13436 ti = "16/30335/13436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30335/13436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30335 ÷ 216
    30335 ÷ 65536     		x = 0.462875366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13436 ÷ 216
    13436 ÷ 65536     		y = 0.20501708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462875366210938 × 2 - 1) × π
    -0.074249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23326095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20501708984375 × 2 - 1) × π
    0.5899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85343228690985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23326095} λ = -0.23326095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85343228690985))-π/2
    2×atan(6.38168575201835)-π/2
    2×1.41536189304085-π/2
    2.8307237860817-1.57079632675     		φ = 1.25992746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23326095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.364868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25992746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.188526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30335 KachelY 13436 -0.23326095 1.25992746 -13.364868 72.188526
    Oben rechts KachelX + 1 30336 KachelY 13436 -0.23316508 1.25992746 -13.359375 72.188526
    Unten links KachelX 30335 KachelY + 1 13437 -0.23326095 1.25989813 -13.364868 72.186845
    Unten rechts KachelX + 1 30336 KachelY + 1 13437 -0.23316508 1.25989813 -13.359375 72.186845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25992746-1.25989813) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dl = 186.861430000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25992746-1.25989813) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dr = 186.861430000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23326095--0.23316508) × cos(1.25992746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305885972206995 × 6371000     		do = 186.831410838589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23326095--0.23316508) × cos(1.25989813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305913896234412 × 6371000     		du = 186.848466493024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25992746)-sin(1.25989813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.305885972206995-0.305913896234412)×R²
    abs(-0.23316508--0.23326095)×2.79240274169146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79240274169146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79240274169146e-05×40589641000000     		ar = 34913.1781226887m²