Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30334 / 28034
↖ ↑ ↗
← N 25.155230°
W 13.370361°		 ← 552.92 m → N 25.155230°
W 13.364868°		 →
↑
552.94 m
↓
↑
552.94 m
↓
N 25.150257°
W 13.370361°		 ← 552.94 m →
305 736 m²		 N 25.150257°
W 13.364868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462867736816406 y=0.427772521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462867736816406 × 216)
    floor (0.462867736816406 × 65536)
    floor (30334.5)     		tx = 30334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427772521972656 × 216)
    floor (0.427772521972656 × 65536)
    floor (28034.5)     		ty = 28034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30334 / 28034 ti = "16/30334/28034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30334/28034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30334 ÷ 216
    30334 ÷ 65536     		x = 0.462860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28034 ÷ 216
    28034 ÷ 65536     		y = 0.427764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.07427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23335683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427764892578125 × 2 - 1) × π
    0.14447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.453866565602692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23335683} λ = -0.23335683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453866565602692))-π/2
    2×atan(1.57438790595725)-π/2
    2×1.00491895190966-π/2
    2.00983790381933-1.57079632675     		φ = 0.43904158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23335683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.370361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43904158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.155230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30334 KachelY 28034 -0.23335683 0.43904158 -13.370361 25.155230
    Oben rechts KachelX + 1 30335 KachelY 28034 -0.23326095 0.43904158 -13.364868 25.155230
    Unten links KachelX 30334 KachelY + 1 28035 -0.23335683 0.43895479 -13.370361 25.150257
    Unten rechts KachelX + 1 30335 KachelY + 1 28035 -0.23326095 0.43895479 -13.364868 25.150257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43904158-0.43895479) × R
    8.67900000000033e-05 × 6371000     		dl = 552.939090000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43904158-0.43895479) × R
    8.67900000000033e-05 × 6371000     		dr = 552.939090000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23335683--0.23326095) × cos(0.43904158) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.905159476521238 × 6371000     		do = 552.918005868981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23335683--0.23326095) × cos(0.43895479) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.905196365122945 × 6371000     		du = 552.940539325929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43904158)-sin(0.43895479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905159476521238-0.905196365122945)×R²
    abs(-0.23326095--0.23335683)×3.68886017070302e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68886017070302e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68886017070302e-05×40589641000000     		ar = 305736.209016198m²