Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30334 / 20582
↖ ↑ ↗
← N 55.460171°
W 13.370361°		 ← 346.34 m → N 55.460171°
W 13.364868°		 →
↑
346.33 m
↓
↑
346.33 m
↓
N 55.457056°
W 13.370361°		 ← 346.37 m →
119 952 m²		 N 55.457056°
W 13.364868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462867736816406 y=0.314064025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462867736816406 × 216)
    floor (0.462867736816406 × 65536)
    floor (30334.5)     		tx = 30334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314064025878906 × 216)
    floor (0.314064025878906 × 65536)
    floor (20582.5)     		ty = 20582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30334 / 20582 ti = "16/30334/20582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30334/20582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30334 ÷ 216
    30334 ÷ 65536     		x = 0.462860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20582 ÷ 216
    20582 ÷ 65536     		y = 0.314056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.07427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23335683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314056396484375 × 2 - 1) × π
    0.37188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16831811754001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23335683} λ = -0.23335683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16831811754001))-π/2
    2×atan(3.21657818014117)-π/2
    2×1.2693794558142-π/2
    2.5387589116284-1.57079632675     		φ = 0.96796258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23335683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.370361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96796258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.460171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30334 KachelY 20582 -0.23335683 0.96796258 -13.370361 55.460171
    Oben rechts KachelX + 1 30335 KachelY 20582 -0.23326095 0.96796258 -13.364868 55.460171
    Unten links KachelX 30334 KachelY + 1 20583 -0.23335683 0.96790822 -13.370361 55.457056
    Unten rechts KachelX + 1 30335 KachelY + 1 20583 -0.23326095 0.96790822 -13.364868 55.457056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96796258-0.96790822) × R
    5.43600000000311e-05 × 6371000     		dl = 346.327560000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96796258-0.96790822) × R
    5.43600000000311e-05 × 6371000     		dr = 346.327560000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23335683--0.23326095) × cos(0.96796258) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566978995346225 × 6371000     		do = 346.339958436128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23335683--0.23326095) × cos(0.96790822) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.56702377259357 × 6371000     		du = 346.367310683939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96796258)-sin(0.96790822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566978995346225-0.56702377259357)×R²
    abs(-0.23326095--0.23335683)×4.47772473456398e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47772473456398e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47772473456398e-05×40589641000000     		ar = 119951.809183866m²