Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30333 / 42141
↖ ↑ ↗
← S 45.694670°
W 13.375854°		 ← 426.62 m → S 45.694670°
W 13.370361°		 →
↑
426.60 m
↓
↑
426.60 m
↓
S 45.698506°
W 13.375854°		 ← 426.59 m →
181 993 m²		 S 45.698506°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462852478027344 y=0.643028259277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462852478027344 × 216)
    floor (0.462852478027344 × 65536)
    floor (30333.5)     		tx = 30333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643028259277344 × 216)
    floor (0.643028259277344 × 65536)
    floor (42141.5)     		ty = 42141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30333 / 42141 ti = "16/30333/42141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30333/42141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30333 ÷ 216
    30333 ÷ 65536     		x = 0.462844848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42141 ÷ 216
    42141 ÷ 65536     		y = 0.643020629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462844848632812 × 2 - 1) × π
    -0.074310302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23345270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643020629882812 × 2 - 1) × π
    -0.286041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.898625120277573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23345270} λ = -0.23345270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898625120277573))-π/2
    2×atan(0.407129028565844)-π/2
    2×0.386636943715588-π/2
    0.773273887431175-1.57079632675     		φ = -0.79752244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23345270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.375854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79752244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.694670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30333 KachelY 42141 -0.23345270 -0.79752244 -13.375854 -45.694670
    Oben rechts KachelX + 1 30334 KachelY 42141 -0.23335683 -0.79752244 -13.370361 -45.694670
    Unten links KachelX 30333 KachelY + 1 42142 -0.23345270 -0.79758940 -13.375854 -45.698506
    Unten rechts KachelX + 1 30334 KachelY + 1 42142 -0.23335683 -0.79758940 -13.370361 -45.698506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79752244--0.79758940) × R
    6.69599999999493e-05 × 6371000     		dl = 426.602159999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79752244--0.79758940) × R
    6.69599999999493e-05 × 6371000     		dr = 426.602159999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23345270--0.23335683) × cos(-0.79752244) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.698481861987933 × 6371000     		do = 426.624178869172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23345270--0.23335683) × cos(-0.79758940) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.698433941987401 × 6371000     		du = 426.594909918908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79752244)-sin(-0.79758940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698481861987933-0.698433941987401)×R²
    abs(-0.23335683--0.23345270)×4.7920000532331e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.7920000532331e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.7920000532331e-05×40589641000000     		ar = 181992.553182913m²