Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30333 / 28028
↖ ↑ ↗
← N 25.185059°
W 13.375854°		 ← 552.73 m → N 25.185059°
W 13.370361°		 →
↑
552.75 m
↓
↑
552.75 m
↓
N 25.180088°
W 13.375854°		 ← 552.75 m →
305 524 m²		 N 25.180088°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462852478027344 y=0.427680969238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462852478027344 × 216)
    floor (0.462852478027344 × 65536)
    floor (30333.5)     		tx = 30333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427680969238281 × 216)
    floor (0.427680969238281 × 65536)
    floor (28028.5)     		ty = 28028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30333 / 28028 ti = "16/30333/28028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30333/28028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30333 ÷ 216
    30333 ÷ 65536     		x = 0.462844848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28028 ÷ 216
    28028 ÷ 65536     		y = 0.42767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462844848632812 × 2 - 1) × π
    -0.074310302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23345270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42767333984375 × 2 - 1) × π
    0.1446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.454441808398132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23345270} λ = -0.23345270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454441808398132))-π/2
    2×atan(1.57529382179318)-π/2
    2×1.00517926330514-π/2
    2.01035852661027-1.57079632675     		φ = 0.43956220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23345270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.375854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43956220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.185059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30333 KachelY 28028 -0.23345270 0.43956220 -13.375854 25.185059
    Oben rechts KachelX + 1 30334 KachelY 28028 -0.23335683 0.43956220 -13.370361 25.185059
    Unten links KachelX 30333 KachelY + 1 28029 -0.23345270 0.43947544 -13.375854 25.180088
    Unten rechts KachelX + 1 30334 KachelY + 1 28029 -0.23335683 0.43947544 -13.370361 25.180088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43956220-0.43947544) × R
    8.6760000000019e-05 × 6371000     		dl = 552.747960000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43956220-0.43947544) × R
    8.6760000000019e-05 × 6371000     		dr = 552.747960000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23345270--0.23335683) × cos(0.43956220) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.904938052805463 × 6371000     		do = 552.725095261339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23345270--0.23335683) × cos(0.43947544) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.904974969538336 × 6371000     		du = 552.747643550286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43956220)-sin(0.43947544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904938052805463-0.904974969538336)×R²
    abs(-0.23335683--0.23345270)×3.69167328733155e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.69167328733155e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.69167328733155e-05×40589641000000     		ar = 305523.900798504m²