Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30333 / 20580
↖ ↑ ↗
← N 55.466399°
W 13.375854°		 ← 346.25 m → N 55.466399°
W 13.370361°		 →
↑
346.26 m
↓
↑
346.26 m
↓
N 55.463285°
W 13.375854°		 ← 346.28 m →
119 898 m²		 N 55.463285°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462852478027344 y=0.314033508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462852478027344 × 216)
    floor (0.462852478027344 × 65536)
    floor (30333.5)     		tx = 30333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314033508300781 × 216)
    floor (0.314033508300781 × 65536)
    floor (20580.5)     		ty = 20580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30333 / 20580 ti = "16/30333/20580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30333/20580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30333 ÷ 216
    30333 ÷ 65536     		x = 0.462844848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20580 ÷ 216
    20580 ÷ 65536     		y = 0.31402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462844848632812 × 2 - 1) × π
    -0.074310302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23345270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31402587890625 × 2 - 1) × π
    0.3719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16850986513849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23345270} λ = -0.23345270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16850986513849))-π/2
    2×atan(3.21719501041851)-π/2
    2×1.26943380995139-π/2
    2.53886761990277-1.57079632675     		φ = 0.96807129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23345270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.375854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96807129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.466399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30333 KachelY 20580 -0.23345270 0.96807129 -13.375854 55.466399
    Oben rechts KachelX + 1 30334 KachelY 20580 -0.23335683 0.96807129 -13.370361 55.466399
    Unten links KachelX 30333 KachelY + 1 20581 -0.23345270 0.96801694 -13.375854 55.463285
    Unten rechts KachelX + 1 30334 KachelY + 1 20581 -0.23335683 0.96801694 -13.370361 55.463285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96807129-0.96801694) × R
    5.43499999999808e-05 × 6371000     		dl = 346.263849999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96807129-0.96801694) × R
    5.43499999999808e-05 × 6371000     		dr = 346.263849999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23345270--0.23335683) × cos(0.96807129) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.56688944406332 × 6371000     		do = 346.249139376067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23345270--0.23335683) × cos(0.96801694) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.566934216423451 × 6371000     		du = 346.27648578607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96807129)-sin(0.96801694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56688944406332-0.566934216423451)×R²
    abs(-0.23335683--0.23345270)×4.47723601311178e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.47723601311178e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.47723601311178e-05×40589641000000     		ar = 119898.294625399m²