Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30333 / 13487
↖ ↑ ↗
← N 72.102632°
W 13.375854°		 ← 187.70 m → N 72.102632°
W 13.370361°		 →
↑
187.69 m
↓
↑
187.69 m
↓
N 72.100944°
W 13.375854°		 ← 187.72 m →
35 232 m²		 N 72.100944°
W 13.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462852478027344 y=0.205802917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462852478027344 × 216)
    floor (0.462852478027344 × 65536)
    floor (30333.5)     		tx = 30333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205802917480469 × 216)
    floor (0.205802917480469 × 65536)
    floor (13487.5)     		ty = 13487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30333 / 13487 ti = "16/30333/13487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30333/13487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30333 ÷ 216
    30333 ÷ 65536     		x = 0.462844848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13487 ÷ 216
    13487 ÷ 65536     		y = 0.205795288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462844848632812 × 2 - 1) × π
    -0.074310302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.23345270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205795288085938 × 2 - 1) × π
    0.588409423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84854272314861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23345270} λ = -0.23345270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84854272314861))-π/2
    2×atan(6.35055825458722)-π/2
    2×1.41461232549759-π/2
    2.82922465099518-1.57079632675     		φ = 1.25842832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23345270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.375854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25842832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.102632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30333 KachelY 13487 -0.23345270 1.25842832 -13.375854 72.102632
    Oben rechts KachelX + 1 30334 KachelY 13487 -0.23335683 1.25842832 -13.370361 72.102632
    Unten links KachelX 30333 KachelY + 1 13488 -0.23345270 1.25839886 -13.375854 72.100944
    Unten rechts KachelX + 1 30334 KachelY + 1 13488 -0.23335683 1.25839886 -13.370361 72.100944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25842832-1.25839886) × R
    2.94599999999257e-05 × 6371000     		dl = 187.689659999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25842832-1.25839886) × R
    2.94599999999257e-05 × 6371000     		dr = 187.689659999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23345270--0.23335683) × cos(1.25842832) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.307312911399281 × 6371000     		do = 187.702967845824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23345270--0.23335683) × cos(1.25839886) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.307340945652905 × 6371000     		du = 187.720090825079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25842832)-sin(1.25839886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307312911399281-0.307340945652905)×R²
    abs(-0.23335683--0.23345270)×2.80342536247424e-05×R²
    9.58700000000257e-05×2.80342536247424e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×2.80342536247424e-05×40589641000000     		ar = 35231.5131214671m²