Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30332 / 41406
↖ ↑ ↗
← S 42.803462°
W 13.381347°		 ← 448.13 m → S 42.803462°
W 13.375854°		 →
↑
448.14 m
↓
↑
448.14 m
↓
S 42.807492°
W 13.381347°		 ← 448.10 m →
200 816 m²		 S 42.807492°
W 13.375854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462837219238281 y=0.631813049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462837219238281 × 216)
    floor (0.462837219238281 × 65536)
    floor (30332.5)     		tx = 30332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631813049316406 × 216)
    floor (0.631813049316406 × 65536)
    floor (41406.5)     		ty = 41406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30332 / 41406 ti = "16/30332/41406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30332/41406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30332 ÷ 216
    30332 ÷ 65536     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41406 ÷ 216
    41406 ÷ 65536     		y = 0.631805419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631805419921875 × 2 - 1) × π
    -0.26361083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.82815787783609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82815787783609))-π/2
    2×atan(0.436853282678823)-π/2
    2×0.411867494237057-π/2
    0.823734988474115-1.57079632675     		φ = -0.74706134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74706134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.803462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30332 KachelY 41406 -0.23354857 -0.74706134 -13.381347 -42.803462
    Oben rechts KachelX + 1 30333 KachelY 41406 -0.23345270 -0.74706134 -13.375854 -42.803462
    Unten links KachelX 30332 KachelY + 1 41407 -0.23354857 -0.74713168 -13.381347 -42.807492
    Unten rechts KachelX + 1 30333 KachelY + 1 41407 -0.23345270 -0.74713168 -13.375854 -42.807492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74706134--0.74713168) × R
    7.03399999999466e-05 × 6371000     		dl = 448.13613999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74706134--0.74713168) × R
    7.03399999999466e-05 × 6371000     		dr = 448.13613999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23345270) × cos(-0.74706134) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.733688811220534 × 6371000     		do = 448.128152879331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23345270) × cos(-0.74713168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73364101438596 × 6371000     		du = 448.098959157329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74706134)-sin(-0.74713168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733688811220534-0.73364101438596)×R²
    abs(-0.23345270--0.23354857)×4.77968345744539e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77968345744539e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77968345744539e-05×40589641000000     		ar = 200815.87935861m²