Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30332 / 28029
↖ ↑ ↗
← N 25.180088°
W 13.381347°		 ← 552.75 m → N 25.180088°
W 13.375854°		 →
↑
552.81 m
↓
↑
552.81 m
↓
N 25.175116°
W 13.381347°		 ← 552.77 m →
305 572 m²		 N 25.175116°
W 13.375854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462837219238281 y=0.427696228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462837219238281 × 216)
    floor (0.462837219238281 × 65536)
    floor (30332.5)     		tx = 30332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427696228027344 × 216)
    floor (0.427696228027344 × 65536)
    floor (28029.5)     		ty = 28029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30332 / 28029 ti = "16/30332/28029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30332/28029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30332 ÷ 216
    30332 ÷ 65536     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28029 ÷ 216
    28029 ÷ 65536     		y = 0.427688598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427688598632812 × 2 - 1) × π
    0.144622802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.454345934598892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454345934598892))-π/2
    2×atan(1.57514279962922)-π/2
    2×1.00513588249566-π/2
    2.01027176499132-1.57079632675     		φ = 0.43947544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43947544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.180088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30332 KachelY 28029 -0.23354857 0.43947544 -13.381347 25.180088
    Oben rechts KachelX + 1 30333 KachelY 28029 -0.23345270 0.43947544 -13.375854 25.180088
    Unten links KachelX 30332 KachelY + 1 28030 -0.23354857 0.43938867 -13.381347 25.175116
    Unten rechts KachelX + 1 30333 KachelY + 1 28030 -0.23345270 0.43938867 -13.375854 25.175116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43947544-0.43938867) × R
    8.67700000000138e-05 × 6371000     		dl = 552.811670000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43947544-0.43938867) × R
    8.67700000000138e-05 × 6371000     		dr = 552.811670000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23345270) × cos(0.43947544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.904974969538336 × 6371000     		do = 552.747643550126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23345270) × cos(0.43938867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905011883713056 × 6371000     		du = 552.770190276585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43947544)-sin(0.43938867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904974969538336-0.905011883713056)×R²
    abs(-0.23345270--0.23354857)×3.69141747201818e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69141747201818e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69141747201818e-05×40589641000000     		ar = 305571.580158207m²