Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30332 / 17021
↖ ↑ ↗
← N 65.079075°
W 13.381347°		 ← 257.37 m → N 65.079075°
W 13.375854°		 →
↑
257.39 m
↓
↑
257.39 m
↓
N 65.076760°
W 13.381347°		 ← 257.39 m →
66 246 m²		 N 65.076760°
W 13.375854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462837219238281 y=0.259727478027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462837219238281 × 216)
    floor (0.462837219238281 × 65536)
    floor (30332.5)     		tx = 30332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259727478027344 × 216)
    floor (0.259727478027344 × 65536)
    floor (17021.5)     		ty = 17021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30332 / 17021 ti = "16/30332/17021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30332/17021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30332 ÷ 216
    30332 ÷ 65536     		x = 0.46282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17021 ÷ 216
    17021 ÷ 65536     		y = 0.259719848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.0743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23354857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259719848632812 × 2 - 1) × π
    0.480560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50972471663405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23354857} λ = -0.23354857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50972471663405))-π/2
    2×atan(4.52548483212864)-π/2
    2×1.35332022902166-π/2
    2.70664045804333-1.57079632675     		φ = 1.13584413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23354857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.381347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13584413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.079075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30332 KachelY 17021 -0.23354857 1.13584413 -13.381347 65.079075
    Oben rechts KachelX + 1 30333 KachelY 17021 -0.23345270 1.13584413 -13.375854 65.079075
    Unten links KachelX 30332 KachelY + 1 17022 -0.23354857 1.13580373 -13.381347 65.076760
    Unten rechts KachelX + 1 30333 KachelY + 1 17022 -0.23345270 1.13580373 -13.375854 65.076760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13584413-1.13580373) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dl = 257.388400000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13584413-1.13580373) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dr = 257.388400000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23354857--0.23345270) × cos(1.13584413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421367049590538 × 6371000     		do = 257.365840570879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23354857--0.23345270) × cos(1.13580373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421403687610175 × 6371000     		du = 257.38821862519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13584413)-sin(1.13580373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421367049590538-0.421403687610175)×R²
    abs(-0.23345270--0.23354857)×3.66380196364924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66380196364924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66380196364924e-05×40589641000000     		ar = 66245.8618541314m²