Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30331 / 42731
↖ ↑ ↗
← S 47.912661°
W 13.386841°		 ← 409.43 m → S 47.912661°
W 13.381347°		 →
↑
409.34 m
↓
↑
409.34 m
↓
S 47.916342°
W 13.386841°		 ← 409.40 m →
167 589 m²		 S 47.916342°
W 13.381347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462821960449219 y=0.652030944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462821960449219 × 216)
    floor (0.462821960449219 × 65536)
    floor (30331.5)     		tx = 30331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652030944824219 × 216)
    floor (0.652030944824219 × 65536)
    floor (42731.5)     		ty = 42731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30331 / 42731 ti = "16/30331/42731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30331/42731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30331 ÷ 216
    30331 ÷ 65536     		x = 0.462814331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42731 ÷ 216
    42731 ÷ 65536     		y = 0.652023315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462814331054688 × 2 - 1) × π
    -0.074371337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23364445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652023315429688 × 2 - 1) × π
    -0.304046630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.955190661829239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23364445} λ = -0.23364445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955190661829239))-π/2
    2×atan(0.384738782559473)-π/2
    2×0.367281325520766-π/2
    0.734562651041531-1.57079632675     		φ = -0.83623368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23364445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.386841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83623368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.912661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30331 KachelY 42731 -0.23364445 -0.83623368 -13.386841 -47.912661
    Oben rechts KachelX + 1 30332 KachelY 42731 -0.23354857 -0.83623368 -13.381347 -47.912661
    Unten links KachelX 30331 KachelY + 1 42732 -0.23364445 -0.83629793 -13.386841 -47.916342
    Unten rechts KachelX + 1 30332 KachelY + 1 42732 -0.23354857 -0.83629793 -13.381347 -47.916342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83623368--0.83629793) × R
    6.42499999999879e-05 × 6371000     		dl = 409.336749999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83623368--0.83629793) × R
    6.42499999999879e-05 × 6371000     		dr = 409.336749999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23364445--0.23354857) × cos(-0.83623368) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670262649456376 × 6371000     		do = 409.430931409117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23364445--0.23354857) × cos(-0.83629793) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670214966608158 × 6371000     		du = 409.401804270713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83623368)-sin(-0.83629793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670262649456376-0.670214966608158)×R²
    abs(-0.23354857--0.23364445)×4.76828482184333e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76828482184333e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76828482184333e-05×40589641000000     		ar = 167589.165466171m²