Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30331 / 20639
↖ ↑ ↗
← N 55.282244°
W 13.386841°		 ← 347.90 m → N 55.282244°
W 13.381347°		 →
↑
347.92 m
↓
↑
347.92 m
↓
N 55.279115°
W 13.386841°		 ← 347.93 m →
121 047 m²		 N 55.279115°
W 13.381347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462821960449219 y=0.314933776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462821960449219 × 216)
    floor (0.462821960449219 × 65536)
    floor (30331.5)     		tx = 30331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314933776855469 × 216)
    floor (0.314933776855469 × 65536)
    floor (20639.5)     		ty = 20639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30331 / 20639 ti = "16/30331/20639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30331/20639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30331 ÷ 216
    30331 ÷ 65536     		x = 0.462814331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20639 ÷ 216
    20639 ÷ 65536     		y = 0.314926147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462814331054688 × 2 - 1) × π
    -0.074371337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23364445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314926147460938 × 2 - 1) × π
    0.370147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16285331098332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23364445} λ = -0.23364445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16285331098332))-π/2
    2×atan(3.19904814536329)-π/2
    2×1.26782675088896-π/2
    2.53565350177792-1.57079632675     		φ = 0.96485718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23364445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.386841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96485718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.282244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30331 KachelY 20639 -0.23364445 0.96485718 -13.386841 55.282244
    Oben rechts KachelX + 1 30332 KachelY 20639 -0.23354857 0.96485718 -13.381347 55.282244
    Unten links KachelX 30331 KachelY + 1 20640 -0.23364445 0.96480257 -13.386841 55.279115
    Unten rechts KachelX + 1 30332 KachelY + 1 20640 -0.23354857 0.96480257 -13.381347 55.279115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96485718-0.96480257) × R
    5.4609999999955e-05 × 6371000     		dl = 347.920309999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96485718-0.96480257) × R
    5.4609999999955e-05 × 6371000     		dr = 347.920309999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23364445--0.23354857) × cos(0.96485718) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569534275531018 × 6371000     		do = 347.900855118823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23364445--0.23354857) × cos(0.96480257) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.569579162331506 × 6371000     		du = 347.928274287334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96485718)-sin(0.96480257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.569534275531018-0.569579162331506)×R²
    abs(-0.23354857--0.23364445)×4.48868004874203e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48868004874203e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48868004874203e-05×40589641000000     		ar = 121046.54323491m²