Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30331 / 13478
↖ ↑ ↗
← N 72.117818°
W 13.386841°		 ← 187.57 m → N 72.117818°
W 13.381347°		 →
↑
187.56 m
↓
↑
187.56 m
↓
N 72.116132°
W 13.386841°		 ← 187.59 m →
35 182 m²		 N 72.116132°
W 13.381347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462821960449219 y=0.205665588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462821960449219 × 216)
    floor (0.462821960449219 × 65536)
    floor (30331.5)     		tx = 30331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205665588378906 × 216)
    floor (0.205665588378906 × 65536)
    floor (13478.5)     		ty = 13478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30331 / 13478 ti = "16/30331/13478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30331/13478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30331 ÷ 216
    30331 ÷ 65536     		x = 0.462814331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13478 ÷ 216
    13478 ÷ 65536     		y = 0.205657958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462814331054688 × 2 - 1) × π
    -0.074371337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23364445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205657958984375 × 2 - 1) × π
    0.58868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84940558734177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23364445} λ = -0.23364445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84940558734177))-π/2
    2×atan(6.35604028869703)-π/2
    2×1.41474485572966-π/2
    2.82948971145932-1.57079632675     		φ = 1.25869338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23364445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.386841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25869338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.117818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30331 KachelY 13478 -0.23364445 1.25869338 -13.386841 72.117818
    Oben rechts KachelX + 1 30332 KachelY 13478 -0.23354857 1.25869338 -13.381347 72.117818
    Unten links KachelX 30331 KachelY + 1 13479 -0.23364445 1.25866394 -13.386841 72.116132
    Unten rechts KachelX + 1 30332 KachelY + 1 13479 -0.23354857 1.25866394 -13.381347 72.116132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25869338-1.25866394) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dl = 187.562240000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25869338-1.25866394) × R
    2.94400000000472e-05 × 6371000     		dr = 187.562240000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23364445--0.23354857) × cos(1.25869338) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.30706066725263 × 6371000     		do = 187.568463041042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23364445--0.23354857) × cos(1.25866394) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.307088684871466 × 6371000     		du = 187.585577644974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25869338)-sin(1.25866394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30706066725263-0.307088684871466)×R²
    abs(-0.23354857--0.23364445)×2.80176188359182e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.80176188359182e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.80176188359182e-05×40589641000000     		ar = 35182.3661106583m²