Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30330 / 20412
↖ ↑ ↗
← N 55.986091°
W 13.392334°		 ← 341.67 m → N 55.986091°
W 13.386841°		 →
↑
341.68 m
↓
↑
341.68 m
↓
N 55.983019°
W 13.392334°		 ← 341.70 m →
116 746 m²		 N 55.983019°
W 13.386841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462806701660156 y=0.311470031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462806701660156 × 216)
    floor (0.462806701660156 × 65536)
    floor (30330.5)     		tx = 30330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311470031738281 × 216)
    floor (0.311470031738281 × 65536)
    floor (20412.5)     		ty = 20412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30330 / 20412 ti = "16/30330/20412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30330/20412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30330 ÷ 216
    30330 ÷ 65536     		x = 0.462799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20412 ÷ 216
    20412 ÷ 65536     		y = 0.31146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.07440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23374032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31146240234375 × 2 - 1) × π
    0.3770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18461666341083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23374032} λ = -0.23374032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18461666341083))-π/2
    2×atan(3.26943328781357)-π/2
    2×1.27396897968192-π/2
    2.54793795936383-1.57079632675     		φ = 0.97714163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23374032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97714163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.986091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30330 KachelY 20412 -0.23374032 0.97714163 -13.392334 55.986091
    Oben rechts KachelX + 1 30331 KachelY 20412 -0.23364445 0.97714163 -13.386841 55.986091
    Unten links KachelX 30330 KachelY + 1 20413 -0.23374032 0.97708800 -13.392334 55.983019
    Unten rechts KachelX + 1 30331 KachelY + 1 20413 -0.23364445 0.97708800 -13.386841 55.983019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97714163-0.97708800) × R
    5.36300000000267e-05 × 6371000     		dl = 341.67673000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97714163-0.97708800) × R
    5.36300000000267e-05 × 6371000     		dr = 341.67673000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23374032--0.23364445) × cos(0.97714163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559394136789309 × 6371000     		do = 341.671097360609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23374032--0.23364445) × cos(0.97708800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559438589988547 × 6371000     		du = 341.698248831041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97714163)-sin(0.97708800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559394136789309-0.559438589988547)×R²
    abs(-0.23364445--0.23374032)×4.44531992382924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44531992382924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44531992382924e-05×40589641000000     		ar = 116745.701822608m²