Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30329 / 20121
↖ ↑ ↗
← N 56.869993°
W 13.397827°		 ← 333.86 m → N 56.869993°
W 13.392334°		 →
↑
333.84 m
↓
↑
333.84 m
↓
N 56.866991°
W 13.397827°		 ← 333.88 m →
111 459 m²		 N 56.866991°
W 13.392334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462791442871094 y=0.307029724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462791442871094 × 216)
    floor (0.462791442871094 × 65536)
    floor (30329.5)     		tx = 30329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307029724121094 × 216)
    floor (0.307029724121094 × 65536)
    floor (20121.5)     		ty = 20121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30329 / 20121 ti = "16/30329/20121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30329/20121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30329 ÷ 216
    30329 ÷ 65536     		x = 0.462783813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20121 ÷ 216
    20121 ÷ 65536     		y = 0.307022094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462783813476562 × 2 - 1) × π
    -0.074432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23383620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307022094726562 × 2 - 1) × π
    0.385955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2125159389897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23383620} λ = -0.23383620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2125159389897))-π/2
    2×atan(3.36193243793788)-π/2
    2×1.28168247988025-π/2
    2.56336495976051-1.57079632675     		φ = 0.99256863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23383620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.397827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99256863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.869993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30329 KachelY 20121 -0.23383620 0.99256863 -13.397827 56.869993
    Oben rechts KachelX + 1 30330 KachelY 20121 -0.23374032 0.99256863 -13.392334 56.869993
    Unten links KachelX 30329 KachelY + 1 20122 -0.23383620 0.99251623 -13.397827 56.866991
    Unten rechts KachelX + 1 30330 KachelY + 1 20122 -0.23374032 0.99251623 -13.392334 56.866991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99256863-0.99251623) × R
    5.23999999999525e-05 × 6371000     		dl = 333.840399999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99256863-0.99251623) × R
    5.23999999999525e-05 × 6371000     		dr = 333.840399999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23383620--0.23374032) × cos(0.99256863) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.546540611445126 × 6371000     		do = 333.855141381335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23383620--0.23374032) × cos(0.99251623) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.546584492163027 × 6371000     		du = 333.881945982808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99256863)-sin(0.99251623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546540611445126-0.546584492163027)×R²
    abs(-0.23374032--0.23383620)×4.3880717900735e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3880717900735e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3880717900735e-05×40589641000000     		ar = 111458.808195637m²