Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30329 / 13481
↖ ↑ ↗
← N 72.112758°
W 13.397827°		 ← 187.62 m → N 72.112758°
W 13.392334°		 →
↑
187.63 m
↓
↑
187.63 m
↓
N 72.111071°
W 13.397827°		 ← 187.64 m →
35 204 m²		 N 72.111071°
W 13.392334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462791442871094 y=0.205711364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462791442871094 × 216)
    floor (0.462791442871094 × 65536)
    floor (30329.5)     		tx = 30329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205711364746094 × 216)
    floor (0.205711364746094 × 65536)
    floor (13481.5)     		ty = 13481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30329 / 13481 ti = "16/30329/13481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30329/13481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30329 ÷ 216
    30329 ÷ 65536     		x = 0.462783813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13481 ÷ 216
    13481 ÷ 65536     		y = 0.205703735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462783813476562 × 2 - 1) × π
    -0.074432373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.23383620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205703735351562 × 2 - 1) × π
    0.588592529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84911796594405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23383620} λ = -0.23383620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84911796594405))-π/2
    2×atan(6.35421241838513)-π/2
    2×1.41470069107697-π/2
    2.82940138215394-1.57079632675     		φ = 1.25860506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23383620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.397827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25860506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.112758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30329 KachelY 13481 -0.23383620 1.25860506 -13.397827 72.112758
    Oben rechts KachelX + 1 30330 KachelY 13481 -0.23374032 1.25860506 -13.392334 72.112758
    Unten links KachelX 30329 KachelY + 1 13482 -0.23383620 1.25857561 -13.397827 72.111071
    Unten rechts KachelX + 1 30330 KachelY + 1 13482 -0.23374032 1.25857561 -13.392334 72.111071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25860506-1.25857561) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dl = 187.625949999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25860506-1.25857561) × R
    2.94499999999864e-05 × 6371000     		dr = 187.625949999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23383620--0.23374032) × cos(1.25860506) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.307144719310639 × 6371000     		do = 187.619806365074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23383620--0.23374032) × cos(1.25857561) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.307172745647466 × 6371000     		du = 187.636926294404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25860506)-sin(1.25857561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307144719310639-0.307172745647466)×R²
    abs(-0.23374032--0.23383620)×2.8026336826914e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.8026336826914e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.8026336826914e-05×40589641000000     		ar = 35203.9504818443m²