Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30328 / 13463
↖ ↑ ↗
← N 72.143102°
W 13.403320°		 ← 187.29 m → N 72.143102°
W 13.397827°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
N 72.141418°
W 13.403320°		 ← 187.31 m →
35 083 m²		 N 72.141418°
W 13.397827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462776184082031 y=0.205436706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462776184082031 × 216)
    floor (0.462776184082031 × 65536)
    floor (30328.5)     		tx = 30328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.205436706542969 × 216)
    floor (0.205436706542969 × 65536)
    floor (13463.5)     		ty = 13463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30328 / 13463 ti = "16/30328/13463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30328/13463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30328 ÷ 216
    30328 ÷ 65536     		x = 0.4627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13463 ÷ 216
    13463 ÷ 65536     		y = 0.205429077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.074462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.23393207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.205429077148438 × 2 - 1) × π
    0.589141845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85084369433037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23393207} λ = -0.23393207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85084369433037))-π/2
    2×atan(6.36518753043568)-π/2
    2×1.41496549774176-π/2
    2.82993099548351-1.57079632675     		φ = 1.25913467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23393207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25913467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.143102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30328 KachelY 13463 -0.23393207 1.25913467 -13.403320 72.143102
    Oben rechts KachelX + 1 30329 KachelY 13463 -0.23383620 1.25913467 -13.397827 72.143102
    Unten links KachelX 30328 KachelY + 1 13464 -0.23393207 1.25910527 -13.403320 72.141418
    Unten rechts KachelX + 1 30329 KachelY + 1 13464 -0.23383620 1.25910527 -13.397827 72.141418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25913467-1.25910527) × R
    2.93999999998462e-05 × 6371000     		dl = 187.30739999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25913467-1.25910527) × R
    2.93999999998462e-05 × 6371000     		dr = 187.30739999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23393207--0.23383620) × cos(1.25913467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.306640666113526 × 6371000     		do = 187.292368646791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23393207--0.23383620) × cos(1.25910527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.306668649646365 × 6371000     		du = 187.30946064641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25913467)-sin(1.25910527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.306640666113526-0.306668649646365)×R²
    abs(-0.23383620--0.23393207)×2.79835328388378e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.79835328388378e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.79835328388378e-05×40589641000000     		ar = 35082.8473422275m²