Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30327 / 42011
↖ ↑ ↗
← S 45.193652°
W 13.408813°		 ← 430.43 m → S 45.193652°
W 13.403320°		 →
↑
430.42 m
↓
↑
430.42 m
↓
S 45.197522°
W 13.408813°		 ← 430.40 m →
185 261 m²		 S 45.197522°
W 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462760925292969 y=0.641044616699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462760925292969 × 216)
    floor (0.462760925292969 × 65536)
    floor (30327.5)     		tx = 30327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641044616699219 × 216)
    floor (0.641044616699219 × 65536)
    floor (42011.5)     		ty = 42011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30327 / 42011 ti = "16/30327/42011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30327/42011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30327 ÷ 216
    30327 ÷ 65536     		x = 0.462753295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42011 ÷ 216
    42011 ÷ 65536     		y = 0.641036987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462753295898438 × 2 - 1) × π
    -0.074493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23402794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641036987304688 × 2 - 1) × π
    -0.282073974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.886161526376358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23402794} λ = -0.23402794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886161526376358))-π/2
    2×atan(0.412235073178456)-π/2
    2×0.391009155039652-π/2
    0.782018310079303-1.57079632675     		φ = -0.78877802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23402794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.408813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78877802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.193652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30327 KachelY 42011 -0.23402794 -0.78877802 -13.408813 -45.193652
    Oben rechts KachelX + 1 30328 KachelY 42011 -0.23393207 -0.78877802 -13.403320 -45.193652
    Unten links KachelX 30327 KachelY + 1 42012 -0.23402794 -0.78884558 -13.408813 -45.197522
    Unten rechts KachelX + 1 30328 KachelY + 1 42012 -0.23393207 -0.78884558 -13.403320 -45.197522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78877802--0.78884558) × R
    6.75600000000776e-05 × 6371000     		dl = 430.424760000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78877802--0.78884558) × R
    6.75600000000776e-05 × 6371000     		dr = 430.424760000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23402794--0.23393207) × cos(-0.78877802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704712827424827 × 6371000     		do = 430.429976353196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23402794--0.23393207) × cos(-0.78884558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.704664892492653 × 6371000     		du = 430.400698282868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78877802)-sin(-0.78884558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704712827424827-0.704664892492653)×R²
    abs(-0.23393207--0.23402794)×4.79349321749201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79349321749201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79349321749201e-05×40589641000000     		ar = 185261.418335867m²