Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30327 / 20296
↖ ↑ ↗
← N 56.340901°
W 13.408813°		 ← 338.53 m → N 56.340901°
W 13.403320°		 →
↑
338.55 m
↓
↑
338.55 m
↓
N 56.337857°
W 13.408813°		 ← 338.56 m →
114 615 m²		 N 56.337857°
W 13.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462760925292969 y=0.309700012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462760925292969 × 216)
    floor (0.462760925292969 × 65536)
    floor (30327.5)     		tx = 30327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309700012207031 × 216)
    floor (0.309700012207031 × 65536)
    floor (20296.5)     		ty = 20296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30327 / 20296 ti = "16/30327/20296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30327/20296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30327 ÷ 216
    30327 ÷ 65536     		x = 0.462753295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20296 ÷ 216
    20296 ÷ 65536     		y = 0.3096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462753295898438 × 2 - 1) × π
    -0.074493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23402794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3096923828125 × 2 - 1) × π
    0.380615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19573802412268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23402794} λ = -0.23402794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19573802412268))-π/2
    2×atan(3.30599677573861)-π/2
    2×1.27706527816503-π/2
    2.55413055633007-1.57079632675     		φ = 0.98333423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23402794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.408813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98333423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.340901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30327 KachelY 20296 -0.23402794 0.98333423 -13.408813 56.340901
    Oben rechts KachelX + 1 30328 KachelY 20296 -0.23393207 0.98333423 -13.403320 56.340901
    Unten links KachelX 30327 KachelY + 1 20297 -0.23402794 0.98328109 -13.408813 56.337857
    Unten rechts KachelX + 1 30328 KachelY + 1 20297 -0.23393207 0.98328109 -13.403320 56.337857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98333423-0.98328109) × R
    5.31400000000071e-05 × 6371000     		dl = 338.554940000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98333423-0.98328109) × R
    5.31400000000071e-05 × 6371000     		dr = 338.554940000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23402794--0.23393207) × cos(0.98333423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554250386417326 × 6371000     		do = 338.529357541469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23402794--0.23393207) × cos(0.98328109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554294616713317 × 6371000     		du = 338.556372865324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98333423)-sin(0.98328109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554250386417326-0.554294616713317)×R²
    abs(-0.23393207--0.23402794)×4.42302959906549e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42302959906549e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42302959906549e-05×40589641000000     		ar = 114615.359443573m²