Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30326 / 42012
↖ ↑ ↗
← S 45.197522°
W 13.414307°		 ← 430.45 m → S 45.197522°
W 13.408813°		 →
↑
430.36 m
↓
↑
430.36 m
↓
S 45.201393°
W 13.414307°		 ← 430.42 m →
185 241 m²		 S 45.201393°
W 13.408813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462745666503906 y=0.641059875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462745666503906 × 216)
    floor (0.462745666503906 × 65536)
    floor (30326.5)     		tx = 30326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641059875488281 × 216)
    floor (0.641059875488281 × 65536)
    floor (42012.5)     		ty = 42012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30326 / 42012 ti = "16/30326/42012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30326/42012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30326 ÷ 216
    30326 ÷ 65536     		x = 0.462738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42012 ÷ 216
    42012 ÷ 65536     		y = 0.64105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.07452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23412382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.2821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.886257400175598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23412382} λ = -0.23412382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886257400175598))-π/2
    2×atan(0.412195552530338)-π/2
    2×0.390975374440417-π/2
    0.781950748880834-1.57079632675     		φ = -0.78884558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23412382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.414307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78884558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.197522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30326 KachelY 42012 -0.23412382 -0.78884558 -13.414307 -45.197522
    Oben rechts KachelX + 1 30327 KachelY 42012 -0.23402794 -0.78884558 -13.408813 -45.197522
    Unten links KachelX 30326 KachelY + 1 42013 -0.23412382 -0.78891313 -13.414307 -45.201393
    Unten rechts KachelX + 1 30327 KachelY + 1 42013 -0.23402794 -0.78891313 -13.408813 -45.201393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78884558--0.78891313) × R
    6.75499999999163e-05 × 6371000     		dl = 430.361049999467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78884558--0.78891313) × R
    6.75499999999163e-05 × 6371000     		dr = 430.361049999467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23412382--0.23402794) × cos(-0.78884558) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.704664892492653 × 6371000     		do = 430.445592483269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23412382--0.23402794) × cos(-0.78891313) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.704616961440017 × 6371000     		du = 430.416313728829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78884558)-sin(-0.78891313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704664892492653-0.704616961440017)×R²
    abs(-0.23402794--0.23412382)×4.79310526356747e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.79310526356747e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.79310526356747e-05×40589641000000     		ar = 185240.717001554m²