Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30326 / 16435
↖ ↑ ↗
← N 66.401359°
W 13.414307°		 ← 244.54 m → N 66.401359°
W 13.408813°		 →
↑
244.58 m
↓
↑
244.58 m
↓
N 66.399160°
W 13.414307°		 ← 244.56 m →
59 813 m²		 N 66.399160°
W 13.408813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.462745666503906 y=0.250785827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.462745666503906 × 216)
    floor (0.462745666503906 × 65536)
    floor (30326.5)     		tx = 30326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250785827636719 × 216)
    floor (0.250785827636719 × 65536)
    floor (16435.5)     		ty = 16435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30326 / 16435 ti = "16/30326/16435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30326/16435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30326 ÷ 216
    30326 ÷ 65536     		x = 0.462738037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16435 ÷ 216
    16435 ÷ 65536     		y = 0.250778198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.462738037109375 × 2 - 1) × π
    -0.07452392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.23412382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.250778198242188 × 2 - 1) × π
    0.498443603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.56590676298875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.23412382} λ = -0.23412382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56590676298875))-π/2
    2×atan(4.78701365531219)-π/2
    2×1.36485933594698-π/2
    2.72971867189396-1.57079632675     		φ = 1.15892235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.23412382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.414307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15892235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.401359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30326 KachelY 16435 -0.23412382 1.15892235 -13.414307 66.401359
    Oben rechts KachelX + 1 30327 KachelY 16435 -0.23402794 1.15892235 -13.408813 66.401359
    Unten links KachelX 30326 KachelY + 1 16436 -0.23412382 1.15888396 -13.414307 66.399160
    Unten rechts KachelX + 1 30327 KachelY + 1 16436 -0.23402794 1.15888396 -13.408813 66.399160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15892235-1.15888396) × R
    3.83900000000548e-05 × 6371000     		dl = 244.582690000349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15892235-1.15888396) × R
    3.83900000000548e-05 × 6371000     		dr = 244.582690000349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.23412382--0.23402794) × cos(1.15892235) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.40032729020284 × 6371000     		do = 244.540517704846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.23412382--0.23402794) × cos(1.15888396) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.400362469437675 × 6371000     		du = 244.56200699251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15892235)-sin(1.15888396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40032729020284-0.400362469437675)×R²
    abs(-0.23402794--0.23412382)×3.5179234834537e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.5179234834537e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.5179234834537e-05×40589641000000     		ar = 59813.0055954055m²